Mathématiques, suites et fonctions, Bac centres étrangers 2022. Afrique du Sud, Bulgarie, Comores, Djibouti, Kenya, Liban, Lituanie, Madagascar, Mozambique et Ukraine En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . . . .. .. ...... ... 1. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x/ e x . On suppose que f est dérivable sur R et on note f ′ sa fonction dérivée.  a. f ′ (x) = e −x ; b. f ′ (x) = xe −x ; c. f ′ (x) = (1− x)e−x;  d. f ′ (x) = (1+ x)e−x . f(x) = x e-x. On dérive en posant u = x, v = e-x ; u'=1 ; v' = -e-x. u'v+v'u = e-x-xe-x=e-x(1-x). 2. Soit f une fonction deux fois dérivable sur l’intervalle [−3 ; 1]. On donne ci-dessous la représentation graphique de sa fonction dérivée seconde f ′′ . On peut alors affirmer que :  a. La fonction f est convexe sur l’intervalle [−1 ; 1]  ; b. La fonction f est concave sur l’intervalle [−2 ; 0]  ; c. La fonction f ′ est décroissante sur l’intervalle [−2 ; 0] ; d. La fonction f ′ admet un maximum en x = −1. f " est positive sur [-3 ; -1], négative sur [-1 ; 1] s'annule pour x = -1. f ' est croissante sur [ -3 ; -1] et décroissante sur [-1 ; 1 ] Donc f ' admet un maximum en x = -1. 3. On considère la fonction f définie sur R par : f (x) = x 3 exp( −x 2).  Si F est une primitive de f sur R, a. F(x) = − 1/ 6 ( x 3 +1) exp( −x 2).  b. F(x) = − 1 /4 x 4 exp( −x 2).  c. F(x) = − 1/2 ( x 2 +1 ) exp( −x 2) ;  d. F(x) = x 2 ( 3−2x 2 ) exp( −x 2). On dérive − 1 /4 x 4 exp( −x 2). en posant :u = -0,25 x4 et v = exp( −x 2). u' = -x3 ; v' = -2x exp( −x 2) ; u'v+v'u = -x3 exp( −x 2)+0,5x5 exp( −x 2) ne convient pas. On dérive   − 1/2 ( x 2 +1 ) exp( −x 2). en posant : u = − 0,5 ( x 2 +1 ) et v = exp( −x 2). u' = -x ; v' = -2x exp( −x 2) ; u'v+v'u = -x exp( −x 2)+x( x 2 +1 ) exp( −x 2)= x 3 exp( −x 2). 4. Que vaut la limite en plus l'infini de (ex+1) / (ex-1) ?  a. −1 ; b. 1 ; c. +∞;  d. n’existe pas. On met ex en facteur commun : ex(1+e-x) / [ex(1-e-x)] =(1+e-x) /(1-e-x). e-x tend vers zéro si x tend vers plue l'infini et (ex+1) / (ex-1) tend vers 1.  5. On considère la fonction f définie sur R par f (x) = e 2x+1 . La seule primitive F sur R de la fonction f telle que F(0) = 1 est la fonction : a. F(x)= 2e2x+1 −2e+1 ; b.F(x)= 2e2x+1 −e ; c. F(x)= 0,5 e 2x+1 − 0,5 e+1  ; F(x)= exp(x2+x). On dérive 2e2x+1 −2e+1 ; f(x) = 4e2x+1 ne convient pas. On dérive 0,5e2x+1 −0,5e+1 ; f(x) = e2x+1  convient. 6. Dans un repère, on a tracé ci-contre la courbe représentative d’une fonction f définie et deux fois dérivable sur [−2 ; 4]. Parmi les courbes suivantes, laquelle représente la fonction f ′′, dérivée seconde de f ? f(x) est concave sur [-2 ; 1]  et convexe sur [1 ; 4]. f "(x) < 0 sur [-2 ; 1) et f "(x) > 0 sur [1 ; 4] s'annulant pour x = 1. ... .... Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par f (x) = x ln(x)+1.  On note Cf sa courbe représentative dans un repère du plan.  1. Déterminer la limite de la fonction f en 0 ainsi que sa limite en +∞. En zéro : ln(x) tend vers moins l'infini ; x ln(x) tend vers zéro et f(x) tend vers 1. En plus l'infini : ln(x) tend vers plus l'infini ; x ln(x) tend vers plus l'infini et f(x) tend vers plus l'infini.  2. a. On admet que f est dérivable sur ]0 ; +∞[ et on notera f ′ sa fonction dérivée. Montrer que pour tout réel x strictement positif : f ′ (x) = 1+ln(x). On pose u = x et v = ln(x) ; u' = 1 ; v' = 1 /x. u'v +v'u = ln(x) +1.  b. En déduire le tableau de variation de la fonction f sur ]0 ; +∞[. On y fera figurer la valeur exacte de l’extremum de f sur ]0 ; +∞[ et les limites. f '(x) = 0 si ln(x) = -1 soit x = e-1. f '(x) >0 sur [e-1 ; +oo[ et f(x) croissante. f '(x) < 0 sur ]0 ; e-1 ] et f(x) décroissante.  c. Justifier que pour tout x ∈]0 ; 1[, f (x) ∈]0 ; 1[. Sur ]0 ; e-1], f(x) décroît 1 à 1-1/e ~0,63. Sur [e-1 ; 1[ croît de 1-1 /e à 1, valeur exclue. 3. a. Déterminer une équation de la tangente (T ) à la courbe Cf au point d’abscisse 1. Coefficient directeur de T= f '(1) = 1. Le point de coordonnées (1 ; f(1) =1 appartient à T. Equation de T : y = x+b ; 1 = 1+b ; b =0 ; y = x. b. Étudier la convexité de la fonction f sur ]0 ; +∞[. f ''(x) = 1 /x avec x >0. f "(x) étant positive , f(x) est convexe.  c. En déduire que pour tout réel x strictement positif : f (x) > x . La fonction étant convexe, sa courbe représentative est au dessus de toutes ses tangentes : donc f(x) > x. 4. On définit la suite (un) par son premier terme u0 élément de l’intervalle ]0; 1[ et pour tout entier naturel n : un+1 = f (un).  a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a : 0 < un < 1. Initialisation : 0 < u0 < 1 est vrai. Hérédité : 0 < un < 1. est supposé vrai. D’après la question 2.c, x ∈]0 ; 1[, f (x) ∈]0 ; 1[ , donc f (un) ∈]0 ; 1[ soit un+1 ∈]0 ; 1[. Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire. Elle est vraie, pour tout entier naturel n. b. Déduire de la question 3. c. la croissance de la suite (un). f (x) > x . et un >0, donc f(un) > un soit un+1 > un. La suite est croissante.  c. En déduire que la suite (un) est convergente. La suite est croissante et majorée par 1, donc elle converge.

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