Mathématiques, probabilités, Bac Métropole Antilles 2022.

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Le directeur d’une grande entreprise a proposé à l’ensemble de ses salariés un stage de formation à l’utilisation d’un nouveau logiciel. Ce stage a été suivi par 25 % des salariés.
 1. Dans cette entreprise, 52 % des salariés sont des femmes, parmi lesquelles 40 % ont suivi le stage. On interroge au hasard un salarié de l’entreprise et on considère les évènements :
- F : « le salarié interrogé est une femme »,
 S : « le salarié interrogé a suivi le stage ».
  a. Donner la probabilité de l’évènement S.
p(S) = 0,25.
 b. Recopier et compléter les pointillés de l’arbre pondéréci-dessous.
 c. Démontrer que la probabilité que la personne interrogée soit une femme ayant suivi le stage est égale à 0,208.

 d. On sait que la personne interrogée a suivi le stage. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
PS(F) = P(S n F) / P(S) = 0,208 / 0,25 =0,832.
 e. Le directeur affirme que, parmi les hommes salariés de l’entreprise, moins de 10 % ont suivi le stage. Justifier l’affirmation du directeur.
L'affirmation est vraie ( 8,75 % des hommes ont suivi le stage).

On note X la variable aléatoire qui à un échantillon de 20 salariés de cette entreprise choisis au hasard associe le nombre de salariés de cet échantillon ayant suivi le stage. On suppose que l’effectif des salariés de l’entreprise est suffisamment important pour assimiler ce choix à un tirage avec remise.
a. Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X.
C'est un schéma de bernoulli. : on répète 20 expériences aléatoires ayant deux issues, identiques et indépendantes entre elles.
 X suit la loi binomiale de paramètre n = 20 et p =0,25.
 b. Déterminer, à 10−3 près, la probabilité que 5 salariés dans un échantillon de 20 aient suivi le stage.
P(X=5) = (20 5) x 0,255x0,7515=0,202.
 c. Le programme ci-dessous, écrit en langage Python, utilise la fonction binomiale(i,n,p) créée pour l’occasion qui renvoie la valeur de la probabilité P(X = i) dans le cas où la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p.
def proba(k) :
 P=0
 for i in range(0,k+1) :
 P=P+binomiale(i,20,0.25)
return P
Déterminer, à 10−3 près, la valeur renvoyée par ce programme lorsque l’on saisit proba(5) dans la console Python. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
ce programme calcule p(X < 5).
la calculatrice donnde p(X < 5) = 0,617.
d. Déterminer, à 10−3 près, la probabilité qu’au moins 6 salariés dans un échantillon de 20 aient suivi le stage.
p(X > 6) = 1 -p(X< 5) = 1-0,617 = 0,383.
3. Cette question est indépendante des questions 1 et 2. Pour inciter les salariés à suivre le stage, l’entreprise avait décidé d’augmenter les salaires des salariés ayant suivi le stage de 5 %, contre 2 % d’augmentation pour les salariés n’ayant pas suivi le stage. Quel est le pourcentage moyen d’augmentation des salaires de cette entreprise dans ces conditions ?
Sur 100 € de salaire :
25 % des salariés ont suivi le stage : 100 x1,05 = 105.
75 % des salariés n'ont pas suivi le stage : 100 x1,02 = 102.
A partir de 100 € : le salaire moyen devient :105 x 0,25 +102 x 0,75 =26,25 +76,5 =102,75 €.
Soit 2,75 % d'augmentation en moyenne.

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 Le coyote est un animal sauvage proche du loup, qui vit en Amérique du Nord. Dans l’état d’Oklahoma, aux États-Unis, 70 % des coyotes sont touchés par une maladie appelée ehrlichiose. Il existe un test aidant à la détection de cette maladie. Lorsque ce test est appliqué à un coyote, son résultat est soit positif, soit négatif, et on sait que :
 Si le coyote est malade, le test est positif dans 97 % des cas.
 Si le coyote n’est pas malade, le test est négatif dans 95 % des cas.
Partie A.
 Des vétérinaires capturent un coyote d’Oklahoma au hasard et lui font subir un test pour l’ehrlichiose. On considère les évènements suivants :
M : « le coyote est malade »;  T : « le test du coyote est positif ».
 1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation.
2. Déterminer la probabilité que le coyote soit malade et que son test soit positif.
3. Démontrer que la probabilité de T est égale à 0,694.

4. On appelle « valeur prédictive positive du test » la probabilité que le coyote soit effectivement malade sachant que son test est positif. Calculer la valeur prédictive positive du test. On arrondira le résultat au millième.
PT(M) =P(T n M) / P(T) =0,679 / 0,694 =0,978.
5. a. Par analogie avec la question précédente, proposer une définition de la « valeur prédictive négative du test » et calculer cette valeur en arrondissant au millième
On appelle « valeur prédictive négative du test » la probabilité que le coyote soit sain sachant que son test est négatif.
P(non T (non M) =P(non T n non M) / P(non T) =0,285 / (1-0,694)=0,931.
b. Comparer les valeurs prédictives positive et négative du test, et interpréter.
0,978  > 0,931. Un résultat positif est plus probant ( erreur 2 %) qu'un résultat négatif ( erreur 7 %).

 Partie B.
 On rappelle que la probabilité qu’un coyote capturé au hasard présente un test positif est de 0,694.
1. Lorsqu’on capture au hasard cinq coyotes, on assimile ce choix à un tirage avec remise. On note X la variable aléatoire qui à un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard associe le nombre de coyotes dans cet échantillon ayant un test positif.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Justifier et préciser ses paramètres.
Toutes les captures sont indépendantes, le nombre de coyotes étant suffisamment grand. Il y a deux issues possibles " malade ou sain".
X suit la loi binomiale de paramètre n = 5 et p = 0,694.
 b. Calculer la probabilité que dans un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard, un seul ait un test positif. On arrondira le résultat au centième.
P(X=1) = (5 1) x 0,6941x(1-0,694)4=0,030.
c. Un vétérinaire affirme qu’il y a plus d’une chance sur deux qu’au moins quatre coyotes sur cinq aient un test positif : cette affirmation est-elle vraie? Justifier la réponse.
Il faut vérifier que P(X > 4) > 0,5.
P(X > 4) = P(X = 4) + P(X =5).
P(X=4) = (5 4) x 0,6944x(1-0,694)1=0,3549.
P(X=5) = (5 5) x 0,6945x(1-0,694)0=0,1609.
P(X > 4) =0,516 > 0,5.
Le vétérinaire a raison.
2. Pour tester des médicaments, les vétérinaires ont besoin de disposer d’un coyote présentant un test positif. Combien doivent-ils capturer de coyotes pour que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux présente un test positif soit supérieure à 0,99 ?
Y : variable aléatoire associée au nombre de coyotes ayant un test positif.
P(Y > 1) > 0,99.
P(Y > 1= 1-P(Y = 0) = 1-(n0) x0,6940 x0,306n =1-0,306n .
1-0,306n >0,99 ; 0,01 > 0,306n.
ln(0,01) > n ln(0,306) ; n > ln(0,01) / ln(0,306) ; n >3,99.
Il faut capturer au moins 4 coyotes.

  
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