Mathématiques, géométrie dans l'espace, Bac Métropole 9 /9 / 2022. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . . . .. .. ...... ... Sujet 1. 7 points. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé, on considère les points A(−1 ; −1 ; 3), B(1 ; 1 ; 2), C(1 ; −1 ; 7) On considère également la droite D passant par les points D(−1 ; 6 ; 8) et E(11 ; −9 ; 2). 1. a. Vérifier que la droite D admet pour représentation paramétrique :  x = −1+4t ; y = 6−5t ; z = 8−2t avec t réel. Coordonnées du vecteur DE : [ 11-(-1) ; -9 -6 ; 2-8] soit [12 ; -15 ; -6 ) puis diviser par 3. Vecteur directeur de cette droite :(4 ; -5 ; -2). D appartient à cette droite : x = xD+4t ; y = yD−5t ; z = zD−2t avec t réel. x = −1+4t ; y = 6−5t ; z = 8−2t avec t réel.    b. Préciser une représentation paramétrique de la droite ∆ ′ parallèle à ∆ et passant par l’origine O du repère. Ces deux droites ont même vecteur directeur. x = xO+4t ; y = yO−5t ; z = zO−2t avec t réel. x =4t ; y = −5t ; z = −2t avec t réel.  c. Le point F(1,36 ; −1,7 ; −0,7) appartient-il à la droite D ′ ? Si F appartient à cette droite : 1,36 = 4t soit t = 0,34. Par suite y = -5 x0,34 =-1,7 = yF. z = -2 x0,34 = -0,68 différent de zF. F n'appartient pas à cette droite.  2. a. Montrer que les points A, B et C définissent un plan. Coordonnées du vecteur AB : (2 ; 2 ; -1). Coordonnées du vecteur AC : (2 ; 0 ;4). Ces deux vecteurs n'étant pas colinéaires, les points A, B et C ne sont pas alignés : ils définissent un plan.  b. Montrer que la droite D est perpendiculaire au plan (ABC). c. Montrer qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : 4x −5y −2z +5 = 0. 4x -5y-2z +d = 0. A(−1 ; −1 ; 3) appartient à ce plan : 4xA -5yA-2zA +d = 0. -4+5-6+d = 0 ; d  = 5.  3. a. Montrer que le point G(7; -4; 4) appartient à la droite D. Si G appartient à cette droite : xG = −1+4t ; 7 = -1 +4t ; t = 2. y =6-5*2 = -4 = yG. 8-2*2=4=zG. b. Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point G sur le plan (ABC). G appartient à la fois à la droite D et au plan (ABC) : 4xH −5yH −2zH +5 = 0. et xH = −1+4t ; yH = 6−5t ; zH = 8−2t avec t réel. 4(-1+4t) -5(6-5t) -2(8-2t)+5 = 0 -45+45 t = 0 ; t = 1. H(3 ; 1 ; 6).  c. En déduire que la distance du point G au plan (ABC) est égale à 3 * 5½. HG = [(7-3)2+(-4-1)2+(4-6)2]½ =45½ = 3 *5½. 4. a. Montrer que le triangle ABC est rectangle en A. AB2 =(22+22+12)=9. AC2 =(22+02+42)=20. BC2 =(02+(-2)2+52)=29 =AC2 +AB2. D'après la réciproque du théorème de Pytgagore, le triangle ABC est rectangle en A.  b. Calculer le volume V du tétraèdre ABCG. Base :triangle ABC ;  aire du triangle ABC : AB x AC / 2 = 3 x2 x5½ / 2 = 3 x5½ . Hauteur HG = 3 x5½. Volume du tétraèdre : aire de base  fois hauteur / 3 = 3 x5½ x3 x 5½ / 3=15. ... .... Sujet 2. 7 points. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé, on considère : • la droite D passant par le point A(2; 4; 0) et dont un vecteur directeur noté u a pour coordonnées ( 1 ; 2 ; 0 );  • la droite D ′ dont une représentation paramétrique est :  x = 3 ; y = 3+ t ; z = 3+ t ,t ∈ R.  1. a. Donner les coordonnées d’un vecteur directeur  noté u' de la droite D ′ . (0 ; 1 ; 1).  b. Montrer que les droites D et D ′ ne sont pas parallèles. Les vecteurs directeurs des deux droites n'étant pas colinéaires, les droites D et D' ne sont pas parallèles. c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D. x = t +xA = t +2 ; y = 2t +yA = 2t+4 ; z =zA = 0.  On admet dans la suite de cet exercice qu’il existe une unique droite D perpendiculaire aux droites D et D ′ . Cette droite D coupe chacune des droites D et D ′ . On appellera M le point d’intersection de D et D, et M′ le point d’intersection de D et D ′ . On se propose de déterminer la distance MM′ appelée « distance entre les droites D et D ′ ». 2. Montrer que le vecteur n de coordonnées (2 ; -1 ; 1) est un vecteur directeur de la droite D. 3. On note P le plan contenant les droites D et D, c’est-à-dire le plan passant par le point A et de vecteurs directeursu et u' .  a. Montrer que le vecteur n( 2 −1 −5 ) est un vecteur normal au plan P . Le vecteur n étant orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan (P), le vecteur n est un vecteur normal au plan (P).  b. En déduire qu’une équation du plan P est : 2x − y −5z = 0. 2x -y -5z +d = 0. A(2; 4; 0) appartient au plan P, donc 2xA -yA -5zA +d = 0. 2*2-4-5*0+d=0. d=0. équation du plan P : 2x − y −5z = 0.  c. On rappelle que M′ est le point d’intersection des droites D et D ′ . Justifier que M′ est également le point d’intersection de D ′ et du plan P . En déduire que les coordonnées du point M′ sont (3; 1; 1). M' appartient à la fois au plan (P) et à la droite D' : 2xM' − yM' −5zM' = 0. xM' = 3 ; yM' = 3+ t ; zM' = 3+ t 2*3-3-t-5(3+t)=0 -12-6t=0 ; t = -2. xM' = 3 ; yM' = 3-2= 1 ; zM' = 3-2=1. 4. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D. Vecteur directeur de la droite D :  (2 ; -1 ; 1). M'(3 ; 1 ; 1) appartient à cette droite. Représentation paramétrique de cette droite : x = 2t'+3 ; y =-t'+1 ; z = t'+1 avec t' réel. b. Justifier que le point M a pour coordonnées (1; 2; 0). M appartient à D : xM =2+t ; yM = 4+2t ; zM = 0. M appartient à D : xM =3+2t' ; yM = 1-t' ; zM = t'+1. t'+1=0 ; t'=-1. 2+t =3+2t' ; t =1+2t'=-1. M(1 ; 2 ; 0).  c. Calculer la distance MM′ . MM' = [(3-1)2+(1-2)2+(1-0)2]½ =6½. 5. On considère la droite d de représentation paramétrique :  x = 5t ; y = 2+5t ; z = 1+ t avec t réel.  a. Montrer que la droite d est parallèle au plan P . Hypothèse : la droite d coupe le plan P, alors : Equation de ce plan : 2x-y-5z = 0. 2 *5t -(2+5t)-5(1+t)=0. 0 t-7=0. Le système n'ayant pas de solution, l'hypothèse est fausse. La droite d est parallèle au plan P.  b. On note l la distance d’un point N de la droite d au plan P . Exprimer le volume du tétraèdre ANMM′ en fonction de l. Les points A, M et M' appartiennent au plan P ; le triangle AMM' est la base du tétraèdre ; la hauteur est la distance du point N au plan P, c'est à dire l. La droite D est perpendiculaire aux droites D et D'. A appartient à D ; M est l'intersection des droites D et D. M' appartient à D ; D et D sont perpendiculaires, en conséquence les droites D et D sont perpendiculaires. Par suite le triangle AMM' est rectangle en M. AM = [(1-2)2 +(2-4)2+(0-0)2]½ = 5½. Aire de la base AMM' : AM xMM' / 2 = 5½ x6½ / 2=30½ / 2. Volume du tétraèdre : aire de base x hauteur / 3 =30½ l / 6.  c. Justifier que, si N1 et N2 sont deux points quelconques de la droite d, les tétraèdres AN1MM′ et AN2MM′ ont le même volume. La droite d est strictement parallèle au plan P : les distances de N1 et N2 au plan P sont égales. Le triangle AMM' est la base des tétraèdres AN1MM′ et AN2MM′. Donc les tétraèdres AN1MM′ et AN2MM′ ont le même volume.

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