Refroidissement d'un fer à cheval, bac Métropole 2022.

Un fer à cheval doit être parfaitement adapté à la morphologie du sabot du cheval pour que celui-ci ne se blesse pas. Cela nécessite un ensemble d’opérations réalisées lors de la pose du fer par le maréchal-ferrant : le fer est chauffé à une température d’environ 900 °C dans une forge pour être malléable. À l’aide d’un marteau, il est ensuite déformé pour s’ajuster à la forme du sabot.
1. Chauffage du fer.
Lors du chauffage du fer à cheval pour le rendre plus malléable, sa température passe de la température ambiante q_ext = 15 °C à q₀ = 900 °C.
Q1. Déterminer la valeur de la masse m du fer à cheval.
volume du fer à cheval : V = 104 cm³ ; masse volumique du fer, supposée indépendante de la température : r= 7,87 g∙cm^–3 ;
masse m = V r = 104 x 7,87 =818,48 = 818 g.
Q2. Calculer la variation d’énergie interne DU du fer à cheval lors de cette étape.
capacité thermique massique du fer supposée indépendante de la température : c = 440 J∙kg^–1∙K^–1 ;
DU = m c Dq =0,818 x 440 x (900-15) =3,19 10⁵ J.
Q3. Interpréter au niveau microscopique la variation d’énergie interne DU du fer à cheval.
Agitation thermique, augmentation de l'énergie cinétique microscopique des atomes de fer.

2. Refroidissement du fer
Lorsque le fer est à la température souhaitée de 900 °C, le maréchal-ferrant le sort de la forge et le façonne à l’aide d’un marteau pendant une minute environ. Il s’installe ensuite près du cheval et il s’écoule à nouveau environ une minute. Le fer, encore chaud, est alors posé quelques secondes sur la face inférieure du sabot, ce qui est sans douleur pour l’animal, mais brûle la corne en laissant une trace. Cela permet au maréchal-ferrant de juger si la forme est satisfaisante. Si c’est le cas, il refroidit rapidement le fer en le trempant dans l’eau puis le fixe définitivement sur le sabot à l’aide de clous.
2.1. Refroidissement à l’air libre.
On considère que les transferts thermiques entre le fer à cheval et le milieu extérieur suivent la loi de Newton. Le système étudié est le fer à cheval.
Q4. Le maréchal-ferrant martèle le fer à cheval dans l’air. Appliquer le premier principe de la thermodynamique pour le système étudié entre les instants t et t + Dt ; la durée Dt étant supposée faible devant une durée caractéristique d’évolution de la température et la température variant de q(t) à q(t + Dt). En déduire que l’équation différentielle régissant l’évolution de la température du fer à cheval peut s’écrire sous la forme :
dq /dt + q / t = q_ext / t avec t = m c / (h_air S)·
h_air = 14 W·m^–2·K^–1 ; coefficient de transfert thermique.
Loi de Newton : F = h_air S ( q_ext-q).
DU = W + Q avec W =0, le fer n'échange pas de travail avec l'extérieur.
Q = m c Dq ; F = Q / Dt =m c Dq / Dt = h_air S ( q_ext-q).
Dq / Dt = h_air S / (mc) ( q_ext-q)..
Dq / Dt = ( q_ext-q)./ t.
Dq / Dt + q / t = q_ext / t .
Dans ces conditions t = 880 s.
L’équation différentielle précédente admet pour solution la fonction : q(t) = (q₀ – q_Ext)·exp(-t / t) + q_Ext
Q5. Vérifier que la fonction proposée q(t) est bien solution de l’équation différentielle précédente.
On dérive : dq /dt = - (q₀ – q_Ext)· / t exp(-t / t).
Repport dans l'équation différentielle :
- (q₀ – q_Ext)· / t exp(-t / t) + (q₀ – q_Ext)·/ t exp(-t / t) + q_Ext / t =q_Ext / t.
Cette égalité étant vérifiée quel que soit le temps, la fonction proposée est solution de l'équation différentielle.
Q6. Calculer la valeur de la température du fer au moment où le maréchal-ferrant le pose sur la face inférieure du sabot du cheval. Commenter.
t ~ 2 minutes = 120 s.
q =(900-15) exp(-120/ 880)+ 15 =787 °C.
Le fer encore très chaud peut brûler la corne.

2.2. Refroidissement dans l’eau avant la pose.
Pour accélérer le refroidissement du fer afin de le poser rapidement sur le sabot, le maréchal-ferrant plonge le fer encore chaud à la température de 600 °C dans un récipient contenant de l’eau à température ambiante de 15 °C que l’on considère comme constante.
Q7. En adaptant la solution obtenue dans le cadre du modèle précédent, estimer la valeur de la durée nécessaire pour que le fer soit refroidi à une température q_finale = 40 °C à laquelle l’artisan pourra poser le fer à l’aide de clous sur le sabot du cheval.
h_eau = 360 W·m^–2·K^–1 ; t =880 / 360 x 14=34,2 s.
q(t) = (q₀ – q_Ext)·exp(-t / t) + q_Ext.40 =(900-15)exp(-t / 34,2)+ 15.
35 / 885 = exp(-t / 34,2)
0,0395 =exp(-t / 34,2).
ln(0,0395) = -t / 34,2 ; t ~110 s.
Q8. Dans la réalité, 20 secondes suffisent pour refroidir le fer dans de l’eau à 15 °C. Commenter.
Les échanges entre le fer très chaud et l'eau ne sont pas que conducto-convectifs. Le fer cède de l'énergie par rayonnement.
La température de l'eau varie ; une partie de l'eau se vaporise.