1. a. Donner sans justifier les coordonnées des points C, F et G.
b. Démontrer que le vecteur n de coordonnées (1 ; 2 ; 2) est normal au plan (CFI).
On montre que deux vecteurs non colinéaires du plan (CFI) sont orthogonaux au vecteur n.
c. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (CFI) est : x +2y +2z −3 = 0.
Le vecteur n étant orthogonal au plan (CFI), une équation cartésienne de ce plan est :
x+2y+2z+d = 0.
C (1 ; 1 ; 0) appartient à ce plan : 1+2*1+2*0+d = 0 doit d = -3.
2. On note d la droite passant par G et orthogonale au plan (CFI).
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite d.
Le vecteur n est un vecteur directeur de la droite d.
x = t+x
G =t+1 ; y = 2t+y
G =
2t+1 ;
z = 2t+zG = 2t+1 avec t réel.
b. Démontrer que le point K(
7/
9
;
5/
9
;
5/
9 )
est le projeté orthogonal du point G sur le
plan (CFI).
K appartient à la droite d et au plan (CFI) :
t+1 +2(2t+1)+2(2t+1)-3 = 0 ;
9t =2 ; t = -2 / 9.
x
K = -2 / 9+1 = 7 /9 ; y
K = -4 / 9+1 = 5 /9 ; zK = -4 / 9+1 = 5 /9.
c. Déduire des questions précédentes que la distance du point G au plan (CFI) est
égale à 2 /
3.
GK =[(7 / 9-1)
2 +
(5 / 9-1)2 +(5 / 9-1)2 ]
½ =
[(-2 / 9)2 +(-4 / 9)2 +(-4 / 9)2 ]½ =(36 / 81)½ =6 / 9 =2 / 3.
3. On considère la pyramide GCFI.
On rappelle que le volume V d’une pyramide est donné par la formule
V =
1
3
×b ×h,
où b est l’aire d’une base et h la hauteur associée à cette base.
a. Démontrer que le volume de la pyramide GCFI est égal à 1/
6
, exprimé en unité de
volume.
Aire de la base CFG = FG x CG / 2 = 1 x1 / 2 =0,5 unité d'aire.
Hauteur IJ = 1.
Volume de cette pyramide : 0,5 x1 / 3 = 1 / 6 unité de volume.
b. En déduire l’aire du triangle CFI, en unité d’aire.
Aire du triangle CFI x GK / 3 = 1 / 6 ;
Aire du triangle CFI = 1/ (2 GK) =3 / 4.