Mathématiques,
 concours TSEEAC technicien supérieur de l'aviation civile 2016.

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Question 1.
Soit n un entier naturel non nul. On définit la fonction fn par fn(x) = 2enx / (enx+5) et la suite (un) par l'expression :

On peut montrer que :
A. La suite (un) est strictement croissante. Vrai.
 B. La suite (un) est strictement décroissante.
 C. La suite (un) est convergente.
D. La suite (un) est constante.
On pose u = enx+5 ; u' = nenx.
Primitive de fn(x) : Fn(x) = 2 / n ln((enx+5).

Quand n tend vers +oo, un tend vers +oo ; la suite (un) diverge.
Question 2.
On définit sur R la fonction f par :
A.  f(x) est strictement décroissante.
B.  f(x) est strictement croissante. Vrai.
 C.  f n'admet pas de maximum.
  D. On ne peut rien dire au sujet de la monotonie de f.
La dérivée de f(x) est la fonction exp(1-t2) > 0 ;  f(x) est strictement croissante.
Question 3.
La lettre n désignant un entier naturel non nul, on considère une urne qui contient n boules blanches et 3 boules noires, indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise deux boules dans cette urne.
A. Il existe deux entiers naturels n pour lesquelles la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est égale à 9 / 22.
 B. Il existe un entier naturel n pour lesquelles la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est égale à 9 / 22. Vrai.
 C. Il n'existe pas d' entier naturel n pour lesquelles la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est égale à 9 / 22.
D. La probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est : 6 n /((n+3)(n+1)).

6 x 22 n = 9(n+3)(n+2) ; 44 n =3(n+3)(n+2) =3n2+15n +18.
3n2-29n +18=0.
Discriminant D =292-4*3*18=625=252.
On retient la racine entière positive :
n1 =(29-25) / 6 =2 /3 ; n2 =(29+25) / 6 =9.

Question 4.
On considère l'arbre de probabilité ci-dessous. La probabilité que l'événement A soit réalisé sachant que l'événement B est réalisé est :
A. 7 /31 vrai. B. 6 / 31. C. 7 / 30. D. 6 / 30.


Question 5.
On considère l'algorithme ci-dessous. Lorsqu'on saisit la valeur n = 6, la valeur u affichée est :
A. 2,44. B. 2,27.C. 2,4. D. 2,23.
i et n sont des entiers naturels et u est un réel.
Demander à l'utilisateur la valeur n.
Affecter à u la valeur 0.
Pour i allant de 1 à n
Affecter à u la valeur u+1 / i.
Afficher u.
i
 1
 2
 3
 4
 5
 6
u
 0+1=1
 1+0,5=1,5=3 /2
 3/2+1/3=11 / 6
 11/6+1/4=25/12
 25/12+1/5=137/60
 137/60+1/6=147/60 ~2,45

Question 6.
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé, pour tout entier naturel n non nul, on considère les points Mn d'affixe
zn = exp(2 np i /3).
A. Les points O, M1 et M20 sont alignés.
 B. Les points O, M6 et M9 sont alignés. Vrai.
 C. Le triangle OM1M20 s'il existe est équilatéral.
 D. Le triangle OM6M9 s'il existe est équilatéral.
z1 = exp(2 p i /3). z2 = exp(4 p i /3). z3 = exp(6 p i /3) = exp(2 p i).
z6 = exp(12 p i /3)=exp(2 p i).
z9 = exp(18 p i /3)=exp(2 p i).
z20 = exp(40 p i /3)=exp(4 p i /3)..
Question 7.
Soit (un) une suite non constante de nombres réels. Pour tout entier naturel n, on pose vn = sin(un). Vrai.
A. On peut choisir une suite (un) afin que la suite (vn) converge vers 2½ /2.
Si un = 45-1/10n alors(vn) converge vers 2½ /2.
B. On peut choisir une suite (un) afin que la suite (vn) converge vers 1. Vrai.
Si un = 90-1/10n alors(vn) converge vers 1.
C. La suite (vn) converge toujours.
D. La suite (vn) diverge toujours.

 Question 8.
L'espace est rapporté à un repère orthonormé. La représentation paramétrique de la droite (d) est :
x =t+3 ; y = -t+5 ; z=2.
La sphère (S) est centrée en A(1 ; -1 ; 0) et son rayon vaut R=6.
 A. La droite (d) et la sphère (S) sont sécantes.
 B. La droite (d) et la sphère (S) sont sécantes en deux points.
C. La droite (d) et la sphère (S) ne sont pas sécantes.
D. La droite (d) et la sphère (S) sont tangentes. Vrai.
Equation de la sphère : (x-1)2 +(y+1)2 +z2 = 36.
Les coordonnées d'un point commum à la droite et à la sphère vérifient :
(t+3-1)2 +(-t+5+1)2 +22 = 36.
t2+4+4t+t2+36-12t+4=36.
2t2-8t+8=0 ; t2-4t+4=0 ; (t-2)2 =0 soit t = 2.

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 Question 9.
L'espace est rapporté à un repère orthonormé. La représentation paramétrique de la droite (d) est :
x =2t+3 ; y = -2t-1 ; z=6t+2.
La représentation paramétrique de la droite (d') est :
 x =-t-1 ; y = t-1 ; z= -3t.
A. Les deux droites sont confondues.
B. Les deux droites sont sécantes.
  C. Les deux droites sont non sécantes et coplanaires. Vrai.
 D. Les deux droites sont non sécantes et non coplanaires.
Si les droites sont sécantes : 2t+3 =-t-1 soit t =4/3.
Repport dans y : -8 /3 -1 = -11 /3 diffère de 4/3-1.
Les droites ne sont donc pas sécantes.
Coordonnées d'un vecteur directeur de (d) : 2 ; -2 ; 6.
Coordonnées d'un vecteur directeur de (d') : -1 ; 1 ; -3.
Ces deux vecteurs étant colinéaires, les deux droites sont parallèles.
Deux droites sont coplanaires si et seulement si elle sont sécantes ou parallèles.

 Question 10.
Soit X une variable aléatoire dont la densité de probabilité est une fonction f définie par :
f(x) = m sin (x) pour x appartenant à [0 ; p] sinon  f(x) = 0.
m est un nombre réel qui sera choisit en conséquence.
On peut vérifier que :
A. Pour x appartenant à ] p ; +oo[, P(X < x) = 0,5.
B. P(X > 0) = 0.
  C. Pour x appartenant à [0 ;  p ], P(X < x) = 0,5 -0,5 cos (x) et pour x appartenant à ]-oo ; 0[, p(X < x)=0. Vrai.
D. P(p/4 < X < 3p/4)=2½ /2. Vrai.
Primitive de f(x) : F(x) = -m cos (x) +Cste.
P(0 < X < p)=1 =[-m cos (x) +Cste ]0p =-m cos p +m cos (0) =2 m soit m = 0,5.
P(X < x) =[-0,5 cos (x) +Cste ]0x = -0,5 cos x +0,5 cos (0) =0,5-0,5 cos (x).
 P(p/4 < X < 3p/4) =[-0,5 cos (x) +Cste ]p/43p/4 = -0,5 cos 3p/4 +0,5 cos (p/4) = -0,5(-2½ /2)+ 0,5*2½ /2=2½ /2. .

 Question 11.
Soient les nombres complexes définis par z1 = 2½ +i 6½ et z2 = 2+2i. Le nombre complexe défini par z = z1 / z2 vérifie :
z=( 2½ +i 6½) (2-2i) / [(2+2i)(2-2i)] =( 2 *2½+2*6½) +i(2*6½-2 *2½ )] / 8=( 2½+6½) +i(6½-*2½ )] / 4.
Réponse A.

Question 12.
Les nombres complexes z1 et z2 vérifient :
A. z1 a pour module 2½ et pour argument p /3.
B. z1 a pour module 2*2½ et pour argument 2p /3.
|z1 |=(2+6)½ = 2*2½ ; z1 / |z1 |=0,5+ i 3½ /2.
z1 = 2*2½ exp(i p /3).
C. z2 a pour module 2½ et pour argument p /4.
D. z2 a pour module 2*2½ et pour argument 3p /4.
|z2 |=(4+4)½ = 2*2½ ; z2 / |z2 |=2½ / 2+ i 2½ / 2.
z2 = 2*2½ exp(i p /4).
E. Aucune des réponses proposées.

 Question 13.
On en déduit :
A. z a pour module 2 et pour argument 5 p /12.
 B. z a pour module 0,5 et pour argument -5 p /12.
 C. z a pour module 1 et pour argument  p /12.  Vrai.
 D.z a pour module 1 et pour argument - p /12.
z = exp(i p /3) / exp(i p /4) = exp( i p / 12)

Question 14.
On obtient alors :
A. cos (p/12) = (6½-2½) / 4 et  sin (p/12) = (6½+2½) / 4.
 B. cos (p/12) = (6½-2½) / 2 et  sin (p/12) = (6½+2½) / 2.
 C. cos (p/12) = (6½+2½) / 2 et  sin (p/12) = (6½-2½) / 2.
 D. cos (p/12) = (6½+2½) / 4 et  sin (p/12) = (6½-2½) / 4. Vrai.
z = exp( i p / 12) =cos (p/12) + i sin (p/12) = ( 2½+6½) +i(6½-*2½ )] / 4.

Question 15.
Soit f une fonction réelle à variable réelle définie par :
f(x) = (0,5 x+1)4.
L'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 2 est :
A.y = 16(x-2).
 B. y = 8(x-1).
 C. y = 8(x-2).
 D. y = x-1.
f '(x) = 4 *0,5 (0,5 x+1)3 = 2(0,5 x+1)3 .
f '(2) =16, coefficient directeur de la tangente en x =2.
f(2) =16.
Equation de la tangente y = 16x +b ;
le point de coordonnée (2 ; f(2)) appartient à la tangente :
16 = 16 *2+b ; b = -16.
y = 16x-16.
E. Aucune des réponses proposées.



  
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