Mathématiques, Bts groupe B1 Métropole 2022.

Exercice 1 : un problème de routage 5 points
Un chariot d’une fête foraine est propulsé à une vitesse de 20 m.s⁻¹ sur un axe horizontal, puis il est ralenti par un système de freinage. On s’intéresse à la vitesse du chariot durant le freinage. On note f (t) la vitesse du chariot à l’instant t. f (t) est exprimé en mètre par seconde, et t est exprimé en seconde. L’instant t = 0 correspond à l’instant où le chariot commence à être pris en charge par le système de freinage. On a donc f (0) = 20.
On suppose que f est une fonction dérivable sur [0 ; +∞[ et on note f ′ sa fonction dérivée. Les trois parties peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A - Résolution d’une équation différentielle.
On admet que la fonction f est solution de l’équation différentielle : (E) : y ′ +0,8y = 4, où y est une fonction inconnue et où y ′ est la fonction dérivée de y.
1. a. Résoudre l’équation différentielle (E0) : y ′ +0,8y = 0.
f(t) =A e^-0,8t. A est une constante.
b. Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par g(t) = 5. Vérifier que la fonction g est solution de l’équation différentielle (E).
g'(t) = 0, repport dans (E) : 0+0,8 x5 = 4 est bien vbérifié.
c. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).
f(t) = Ae^-0,8t +5.
2. On rappelle que f (0) = 20.
Déterminer la solution f de l’équation (E) qui vérifie la condition initiale : f (0) = 20.
20 = A+5 ; A =15.
f(t) = 15e^-0,8t +5.

Partie B - Étude de la fonction f
On admet que la fonction f est définie pour tout t appartenant à [0 ; +∞[ par : f (t) = 15e^−0,8t +5. Sa courbe représentative C dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.

1. a. Démontrer que la limite de f(t) en plus l'infini est f (t) = 5.
En plus l'infini, e^−0,8t est nul et f(t) tend vers 5.
b. En déduire que la courbe C admet une asymptote dont on donnera une équation.
La droite d'équation y = 5 est asymptote à la courbe représentant f(t).
2. On admet que, pour tout réel t appartenant à [0 ; +∞[ on a : f ′ (t) = −12e^−0,8t . Dresser le tableau de variation de f sur [0 ; +∞[.
e^−0,8t >0, f '(t) est strictement négative et f(t) est strictement décroissante.
3. Le système de freinage permet-il au chariot de s’arrêter ?
Non, la vitesse finale tend vers 5 m /s.
4. Soit F la fonction définie sur [0 ; +∞[ par F(t) = −18,75e^−0,8t +5t.
a. Vérifier que la fonction F est une primitive de la fonction f sur [0 ; +∞[.
On dérive F : -18,75 x(-0,8) e^−0,8t +5 =15e^−0,8t +5 =f(t).
b. On admet que la distance d, exprimée en mètre, parcourue par le chariot entre les instants t₀ et t₁ est donnée par : d = F(t₁)-F(t₀). Calculer la valeur exacte de la distance parcourue par le chariot entre l’instant t₀ = 0 et t₁ = 1. Donner une valeur arrondie au centimètre.
F(1) =-18,75 e^-0,8 +5.
F(0) = -18,75.
d = -18,75 e^-0,8 +5+18,75 =23,75 -18,75e^-0,8 ~15,33 m.

Partie C – Étude locale
On rappelle que l’on étudie la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par : f (t) = 15e^−0,8t +5. On rappelle que sa courbe représentative C est reproduite au début de la partie B. Un logiciel de calcul formel affiche la partie régulière du développement limité à l’ordre 2 de la la fonction f au voisinage de 0 soit 20 -12 t+24 / 5t²+t²e(t) avec e(t) tendant vers zéro quant t tend vers zéro.
Donner une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0.
y = -12 t +20.