Mathématiques, Bts groupe D 2022. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . . . .. .. ...... ... EXERCICE 1 10 points.  On s’intéresse dans cet exercice à l’évolution, dans un pays de 60 millions d’habitants, du nombre de personnes équipées d’un certain implant médical. On exploitera deux modèles distincts. Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante.  Partie A Le tableau ci-dessous indique le nombre de personnes de ce pays équipées de l’implant médical depuis 2013. Année 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 Rang de l'année ki 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Nombre de parsonnes Ni ( en milliers) équipées 56,25 58,1 60,5 63 65,8 68,7 72 75,5 79,3 yi = ln( Ni-30) 3,268 3,336 3,418 3,500 3,578 3,656 3,738 3,818 3,898 On décide de modéliser cette évolution par une fonction exponentielle et pour cela on effectue le changement de variable y = ln(N −30). 1. Compléter le tableau.  1 2. a. À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d’ajustement du nuage de points Mi(  ki , yi ) par la méthode des moindres carrés. On écrira cette équation sous la forme y = ak +b où a et b sont des coefficients que l’on arrondira au centième. y = 0,08 k +3,26.  b. En utilisant cette équation de droite, déduire que le nombre de personnes (en milliers) équipées de l’implant médical dans ce pays, en fonction du rang k, peut être modélisé par la fonction N d’expression : N(k) = 30 + 26,05 exp(0,08k). ln(N-30) = 0,08 k +3,26. N-30 = exp(0,08 k+3,26) =exp0,08 k) x exp3,26) = 26,05 exp(0,08k). N = 30 +26,05 exp(0,08 k). 3. On formule l’hypothèse que le modèle proposé reste valide plusieurs années encore. a. Quel devrait être le nombre de personnes, au millier près, équipées de l’implant médical dans ce pays en 2026 ? k = 13 ; N = 30 +26,05 exp(0,08 x13) =103,7 ~104 milliers..  b. Si on suppose que le nombre d’habitants du pays reste stable sur le long terme, le modèle étudié reste-t-il valide sur le long terme ? Justifier la réponse. Quand k devient très grand, le terme en  exponentielle tend vers plus l'infini. Le modèle n'est pas valide, car la population est stable.  Partie B 1. Dans cette question, on considère la fonction g définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ qui vérifie g(0) = 8 et qui est solution de l’équation différentielle (E) sur l’intervalle [0 ; +∞[ : (E) : y ′ +0,05y = 0,05.  a. Résoudre sur l’intervalle [0 ; +∞[ l’équation différentielle (E0) : y ′ +0,05y = 0. g = A exp(-0,05 x)avec A une constante. G(0 = 8 = A. g(x) =8 exp(-0,05x).  b. Déterminer une solution constante de l’équation différentielle (E).  y = 1.  c. Résoudre sur l’intervalle [0 ; +∞[ l’équation différentielle (E). y = A exp(-0,05x) +1.  d. On rappelle que g(0) = 8. En déduire une expression de la fonction g sur l’intervalle [0 ; +∞[. g(0) 8 = A  +1 ; A = 7. g(x) = 7 exp(-0,05 t) +1. Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : f (t) = 450 /(1+7e−0,05t) On admet que cette fonction permet de modéliser l’évolution du nombre de personnes équipées de l’implant médical dans ce pays. Plus précisément, f (t) représente le nombre de personnes, exprimé en milliers, équipées de l’implant médical dans ce pays en fonction du temps t mesuré en années depuis 2013. Par exemple, f (1) représente le nombre de personnes de ce pays équipées de l’implant médical en 2014.  2. Déterminer, selon ce modèle, combien de personnes, au millier près, seront équipées de l’implant médical en 2026. f(13) = 450 / (7 exp(-0,05 x13) +1)=96,7 milliers. 3. Déterminer la limite de la fonction f en +∞. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice. Le terme en exponentielle tend vers zéro et f(t) tend vers 450 milliers. 450 000 personnes seront équipées au bout d'un temps très long.  4. À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on a obtenu l’expression suivante :  f ′ (t) = 315e−0,05t / (2 ( 1+7e−0,05t )2 . En déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[ et l’interpréter dans le contexte de l’exercice. Le dénominateur ainsi que e−0,05t sont positifs. f '(t) est positive et la fonction f est strictement croissante. Le nombre de personnes équipées augmente au cours du temps.  5. Déterminer à partir de quelle année le nombre de personnes de ce pays équipées de cet implant médical dépassera 120 000, c’est-à-dire 120 milliers. On expliquera la méthode employée. 450 /(1+7e−0,05t) > 120. 450 > 120 (1+7e−0,05t) 45 / 12  =3,75 > 1+7e−0,05t. 2,75 >7e−0,05t ; 2,75 / 7 >e−0,05t ; ln(2,75 / 7) >-0,05 t. t > ln(2,75 / 7) / 0,05 soit t > 19. (année 2013 +19 = 2032). ... .... Exercice 2 10 points Les trois parties de cet exercice sont indépendantes Dans une usine, une machine à embouteiller est alimentée par un réservoir d’eau et par une file d’entrée qui permet l’approvisionnement en bouteilles vides. Partie A - Défaut d’approvisionnement On considère qu’il y a un défaut d’approvisionnement lorsqu’au moins un des deux cas suivants est réalisé : - la file d’entrée des bouteilles est vide ;  - le réservoir est vide.  On choisit au hasard un jour d’activité de l’entreprise dans l’année. On note :  - A l’évènement : « la file d’entrée des bouteilles est vide au moins une fois dans la journée »; - B l’évènement : « le réservoir est vide au moins une fois dans la journée ». On admet que les évènements A et B sont indépendants.  Une étude statistique permet de dire que les probabilités des évènements A et B sont respectivement données par P(A) = 0,03 et P(B) = 0,02. Chaque phrase du tableau de gauche est associée à une unique information correspondante dans le tableau de droite. Pour chacune des quatre réponses, écrire sur la copie le numéro de la phrase avec la lettre qui correspond à l’information associée. Aucune justification n’est demandée. Partie B - Pannes de la machine à embouteiller sur une durée de 200 jours 1. Lorsque la machine tombe en panne, elle est immobilisée pour le reste de la journée et réparée pour le lendemain. La probabilité qu’elle tombe en panne un jour quelconque est égale à 0,025. On note X la variable aléatoire qui, à toute période de 200 jours consécutifs choisie au hasard, associe le nombre de jours où la machine est tombée en panne. On considère que les jours où les pannes surviennent sont indépendants les uns des autres. Donner, sans justifier, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X. Préciser ses paramètres. Lo binomiale de paramètres n =200 ;  p = 0,025.  2. On admet que la loi de la variable aléatoire X peut être approchée par une loi de Poisson de paramètre λ. Soit Y une variable aléatoire qui suit cette loi de Poisson. a. Justifier que λ = 5. l = np =200 x0,025 =5.  b. Donner la valeur arrondie à 10−3 de la probabilité P(Y < 10). P(Y < 10) = 0,986. c. On a représenté ci-dessous les valeurs de P(Y = k) en fonction des premières valeurs de k : Cette représentation graphique suggère que la probabilité P(Y = 15) est égale à 0. On admet que pour tout entier k > 1, on a : P(Y = k) = 5 k e −5 / (1×2×... ×k). La conjecture « P(Y = 15) est égale à 0 » est-elle vraie ou fausse ? Justifier. P(Y =15) = 5 15 e-5 / 15!=1,57 10-4~ 0. La conjecture est vraie. Partie C - Qualité de l’embouteillement Un laboratoire analyse la qualité de l’embouteillement en sortie de machine. La machine est correctement réglée quand une bouteille remplie contient un volume d’eau dont l’arrondi au centilitre est 75 cL. On souhaite tester l’hypothèse « La machine est correctement réglée » à l’aide d’un test bilatéral au seuil de confiance de 95 %. On note :  - m la quantité moyenne d’eau en centilitres dans une bouteille remplie par la machine;  s l’ écart type correspondant.  On réalise une mesure du volume d’eau arrondi au centilitre pour un échantillon de 100 bouteilles remplies par la machine. Les résultats obtenus figurent dans le tableau ci-dessous : Quantité d'eau ( cL) 73 74 75 76 77 Nombre de bouteilles 17 20 43 13 7 1. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, la moyenne x et l’écart type s de cet échantillon. On donnera la valeur arrondie de l’écart type à 10−2 . Moyenne :74,73 cL ; écart type : 1,01.  2. On souhaite réaliser le test bilatéral suivant au seuil de confiance de 95 % : H0 : « m = 75 » et H1 : m diffère de 75 ». On note Z la variable aléatoire qui à tout échantillon de 100 bouteilles remplies par la machine associe la moyenne du volume d’eau contenue dans les bouteilles, mesuré en centilitres. On suppose que la variable aléatoire Z suit la loi normale d’espérance m et d’écart type s. Dans la suite, on remplace l’écart type s des volumes d’eau contenue après remplissage par la machine par son estimateur 0,11.  Sous l’hypothèse H0, Z suit donc la loi normale d’espérance 75 et d’écart type 0,11.  a. Déterminer un nombre réel h vérifiant P(75 −h < Z < 75+h) ≈ 0,95 à 10−2 près. h = 2 s = 2 x0,11=0,22.  b. Énoncer la règle de décision du test. Intervalle de confiance : [74,73 -0,22 ; 74,73 +0,22] soit [74,53 ; 74,95]. c. D’après les résultats de l’échantillon donné, peut-on accepter l’hypothèse H0 : « m = 75 » ? 75 ne figure pas dans l'intervalle de confiance, l'hypothèse H0 est à rejeter.

menu