Machine à force de surface (SFA), mesure de déplacement, concours agrégation interne 2022.

Mesures de déplacement.
Pour mesurer le déplacement relatif de la sphère et du plan, on fixe rigidement la sphère et le plan à deux disques de duralumin de surface S qu’on approche à une distance e l’un de l’autre en prenant garde au parallélisme. On suppose que le condensateur, ainsi créé, ne perturbe pas le fonctionnement du SFA.
2.1 Condensateur plan.
Un tel condensateur est représenté ci-dessous. On repère l’axe perpendiculaire aux faces du
condensateur par un axe Oz, de vecteur unitaire e_z . Les dimensions du condensateur permettent de négliger les effets de bord.

Considérons que les deux plaques métalliques sont placées aux abscisses respectives z = 0 et z = e et portées respectivement aux potentiels V₁ et V₂. Ces deux plaques forment un condensateur, c’est-àdire qu’elles portent respectivement les charges Q et −Q.
17. Rappeler les équations de Maxwell vérifiées par les champs électrique et magnétique dans le vide. Quelle équation permet de justifier qu’il est possible, en électrostatique, d’écrire
le champ E sous la forme

18. Etablir l’équation de Laplace vérifiée par le potentiel V(z) entre les plaques du condensateur.

d²V / dz² = 0.
19. Résoudre cette équation en utilisant les potentiels V₁ et V₂ et la distance e.
On intègre deux fois : V(z) = a z +b avec a et b des constantes.
V(0) =V₁ = b.
V(e) = V₂ = ae+V₁ ; a = (V₂-V₁) / e.
V(z) = (V₂-V₁) z / e +V₁.
20. En déduire une première expression du champ électrostatique E entre les 2 plaques à lʼaide de V₁, V₂ ete. Tracer, sur un schéma du condensateur, l’allure de quelques lignes du champ E. Préciser leur orientation en supposant V₁ > V₂.

21. Le champ étant nul à l’extérieur, établir une deuxième expression du champ électrostatique E entre les 2 plaques en fonction de Q, S et e₀ la permittivité du vide.
Expression du champ électrique au voisinage d'un conducteur ( s : densité surfacique de charge).

22. En déduire la capacité d’un tel condensateur plan.
(V₁-V₂) / e = Q / (S e₀) ; C₀ =Q /(V₁-V₂) = e₀S / e.

2.2 Mesure du déplacement par capteur capacitif.
23. On assimile la permittivité diélectrique de l’air à celle du vide e₀. Donner la valeur de C₀ pour des disques de rayon R = 3,0 cm séparés par une distance e = 10 μm. Commenter la valeur obtenue.
C₀ = 8,85 10^-12 x 3,14 x 0,03² / 10^-5 =2,5 10^-9 F.
Cette valeur est très faible devant les capacités utilisées au lycée ( quelques microfarads).
24. Donner l’expression de la force entre les armatures de ce condensateur si la tension entre les bornes est maintenue fixe. Calculer la valeur de cette force si la tension est maintenue à 5 V.
Energie électrique stockée dans le condensateur : E =½C₀ U²=½e₀S / z U².
On dérive à tension U constante : F = -½e₀S / e² U².
|F| =0,5 x8,85 10^-12 x 3,14 x 0,03² / 10^-10 x 5²=3,1 10^-3 N.
25. Etude du condensateur. Classe de terminale. Spécialité physique-chimie.
Un professeur souhaite étudier la charge d’un condensateur à travers un conducteur ohmique.
a. Schématiser le circuit électrique correspondant au montage.

b. Expliciter la fonction du premier code Arduino fourni par le professeur.
void setup( ) {
pinMode(9, OUTPUT);
}
void loop( ) {
digitalWrite(9, LOW);
delay(5) ;
digitalWrite(9, HIGH);
delay(5);
}
Ce programme permet de délivrer une tension carrée e(t) de période T = 10 ms.
c. Indiquer comment l’élève effectue le branchement sur le micro-controleur pour répondre aux exigences du second code Arduino fourni.
La broche commune à C et R est reliée à A₀ sur la carte arduino.
d. Expliquer la ligne de code « tension=valeur*5/1023 ».
Acquisition numérique allant de 0 à 1023 ( 1023 correspondant à 5 V).
x lue par la carte correspond à la tension 5 x / 1023.
L’acquisition lors de la charge du condensateur permet de tracer la courbe ln(5-tension) en fonction de t, ainsi que sa modélisation.

e. Etablir l’expression donnée dans la question (3) de la partie « exploitation ». Expliciter l’intérêt pédagogique de travailler avec cette expression.
Exploitation :
1. Établir l’équation différentielle vérifiée par la tension u_C aux bornes du condensateur lors de sa charge. On suppose le condensateur initialement déchargé.
Loi des mailles : E = R i(t) + u_c(t) ; i(t) = dq(t) / dt = C du_c/dt.
E =RC du_c/dt + u_c(t)
2. Déterminer la solution de l’équation différentielle, équation temporelle de la tension aux bornes du condensateur.
u_c(t) = A exp(-t / RC) + E.
u_c(t=0) = 0 = A+E soit A = -E.
u_c(t) = E(1- exp(-t / RC).
3. Cette solution peut s’écrire également sous la forme :
E- u_c(t) = E exp(-t / RC).
ln(E- u_c(t)) = ln(E) - t / (RC).
On pose t = RC ; ln(E- u_c(t)) = ln(E) - t / t.
La représentation logarithmique permet de trouver le temps caractéristique, le coefficient directeur de la droite étant -1 / t.
f. Proposer une question utilisant le graphe obtenu pour répondre aux exigences du programme. Formuler une réponse cohérente à cette question.
A partir du tracé de ln(E- u_c(t)) en fonction du temps, retrouver la valeur du temps caractéristique de la charge de ce condensateur.
-1 / t = -24,4 s^-1 ; t = 1 /24,4 =0,041 s.
Afin d’expliciter la notion d’équation différentielle et sa réalité physique, le professeur envisage de l’aborder en activité expérimentale de cours en représentant du_c(ti)/dt en fonction de u_c(ti). Dans un premier temps, à l’aide du microcontrôleur, il relève les valeurs de tensions successives.
Transférées dans un tableur, il détermine la dérivée de u_c(ti) en calculant [u_c(ti+1)-u_c(ti)] /Dt.
g. Représenter du_c(ti)/dt en fonction de u_c(ti). Proposer un intérêt didactique de cette représentation.
Pour la charge : du_c/dt = -1 / t (u_c-E).
Pour la décharge : du_c/dt = -1 / t u_c.
Il existe un lien affine entre la fonction et sa dérivée. Le coefficient directeur étant -1 / t.

h. Quel intérêt scientifique présente le recours à un portrait de phase, c’est-à-dire une représentation du_c(ti)/dt en fonction de u_c(ti), lorsqu’on étudie un système dynamique ?
L'étude du système se fait sans calcul de la fonction ; on détermine facilement le comportement asymptotique du système dynamique selon les conditions initiales.