Mathématiques,
(exercices 1 à 8 ), concours Puissance alpha 2022.
En
poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation
de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres
d’intérêts.
|
.
.
|
..
..
......
...
|
Exercice
1 : bases de calcul. ( Obligatoire)
a. (2x-1)2
(4x+1)=16x3+4x2-4x-1. Faux.
(2x-1)2 (4x+1)= (4x2+1-4x)(4x+1) = 16x3+4x2+4x+1-16x2-4x=16x3-12x2+1.
b. 
c.
d.
Exercice
2 : bases de géométrie.
( Obligatoire)
V1
représente le volume de la pyramide M AB C D ; V2
représente le volume de la pyramide M E H F.
a) V1 = V2
si et seulement si AM =
AE / 3. Vrai.
V1 = Base ABCD x hauteur / 3 = 8 x 3 x AM / 3 = 8 AM =
8 x.
V2 = Base EFH x hauteur / 3 = 8
x 3 /2 x EM / 3 = 4 EM = 4(10-x).
V1 = V2 si 8x =
4(10-x) ; 2x = 10-x ; x = 10 / 3 = AE / 3.
Sur la
figure de droite. : y est un nombre réel positif ; G représente un demi-cercle
de diamètre le segment [I J ] avec I J = 10 ;
K est le milieu du segment [I J ] ;
L est le point du segment [K J ] et R le point du segment [I K ]
tel que L J = K R = y ;
La perpendiculaire au segment [I J ] passant par R coupe G en un point T ;
La perpendiculaire au segment [I J ] passant par L coupe G en un point S ;
D représente
la médiatrice du segment [I J ] ;
S1
représente l’aire du triangle I T J ;
S2
représente l’aire du triangle I S J.
b) Si y diffère de 0
alors S1 =S2. Faux.
Dans le triangle rectangle TRK rectangle en R : TK2 =52=
y2+TR2 ; TR =(25-y2)½.
S1
= IJ x TR / 2 = 10 x TR / 2 = 5 TR= 5 (25-y2)½
Dans
le triangle rectangle KSL rectangle en K : SK2 =52=
(5-y)2+SL2 ; SL =(25-(5-y)2)½=(10y-y2)½.
S2 = IJ x SL / 2 = 10 x SL / 2
= 5 SL = 5 (10y-y2)½.
S1
=S2 si 25-y2 =10y-y2
soit y=2,5.
c)
Si y = 2,5
alors l’aire du quadrilatère I T S J est égale à
75 x 3½ /
4. Vrai.
TR = SL; TS est parallèle à IJ ; TS = ½ IJ..
Le quadrilatère ITSJ est un trapèze dont l'aire vaut :
(TS + IJ) x TR / 2 = 1,5 IJ x TR / 2 = 15 x(25-y2)½
/ 2=15 x18,75½ / 2 =15 x(75
/ 4)½ / 2 =15 x 5 x3½ / 4 =75 x 3½ /
4..
d) Les droites (T J), (S I )
et D ne sont
jamais concourantes. Faux.
Si y = 2,5, les droites (TJ et (SI) sont
symétriques par rapport eà D.
Les droites (TJ et (SI) se coupent en A. A
est sont propre symétrique dan la réflexion d'axe D. Les
droites (T J), (S I ) et D
sont concourantes en A.
Exercice 3. Polynômes et fonction rationnelle. ( Obligatoire)
a. L'équation
4x2-3x+1=0 admet deux solutions dans l'intervalle [-5 ; +5].
Faux.
Discriminant
D
=9-16= -7.
Le discriminant étant négatif, 4x2-3x+1=0 n'admet aucune
solution dans R.
b. (4x-1) / (3x2-1) > 0 est équivalent à x
appartient à ]-oo ; -3½ / 3 ] union [1 / 4 ; 3½
/3]. Faux.
c. La parabole d'équation y = -3x2-4x+1
admet le point S (-2 / 3) ; 7 /3) comme sommet. Vrai.
Abscisse du sommet : -b / 2a =4 / (-6) =-2 / 3.
Ordonnée du sommet -3(-2/3)2 -4(-2/3)+1 = -4/3 +8/3+1=4 /3
+1 = 7 /3.
d. Soit m
appartenant à R*. l'équation 2mx2+(m-1)x-5 = 0 admet deux
solutions si et seulement si m appartient à ]-oo ; -6*10½-19[
union [6 *10½-19 ; 0[ union ]0 ; +oo[. Vrai.
Discriminant D
=(m-1)2 +40m =m2-2m+1+40 m =m2+38 m+1
> 0..
Racines de m2+38 m+1 > 0
Discriminant
D =382-4
=4(192-1)= 4(19+1)(19-1) = 4 *20*18=22*22*5*32*2=122*10
m1 = (-38+12*10½)
/ 2 = -19+6*10½).
m2
= (-38-12*10½)
/ 2 = -19-6*10½).
Exercice
4. Dérivation.
( Obligatoire)
a. La fonction f(x) = (2x-1) / (x-3) admet
comme dérivée f '(x) = 5 /(x-3)2. Faux.
On pose u = 2x-1 ; v = x-3
; u' = 2 ; v' = 1.
(u'v-v'u) / v2 = [2(x-3)-(2x-1)] / (x-3)2 = -5 /(x-3)2.
b. La courbe
représentative de la fonction g(x) = 4x2-3x+1admet au point
d'abscisse x = -1 une tangente d'équation y = 11x-3. Faux.
g'(x) = 8x-3 ; coefficient directeur de la tangente g'(-1) = -11.
Le point de coordonnées -1 ; g(-1) =8 appartient à la tangente.
Equation de la tangente : y = -11x +b ; 8 = 11 +b ; b = -3.
y = -11x-3.
c. La courbe
représentative de la fonction h(x) = -3 /(x-2) admet deux tangentes
parallèles à la droite D d'équation y = -5x+1. Faux.
h'(x) = 3 /(x-2)2.
Si les tangentes à la droite D existent, leur coefficient directeur
vaut -5.
-5 =3 /(x-2)2 ; (x-2)2
= -3 /5 = -0,6.
x2-4x+4+0,6 =0 ; x2-4x+4,6 =0.
Discriminant D
=16-4*4,6 < 0.
Le discriminant étant négatif, il n'existe pas de racines réelles.
d. La fonction k(x) = (x-1) / (2x+3)
est strictement croissante sur R. Faux.
k(x) existe si x diffère de -3 / 2.
On pose : u =x-1 ; v = 2x+3 ; u' = 1 ; v' = 2.
(u'v-v'u) / v2 =[2x+3 -2(x-1)] / (2x+3)2 = 5 / (2x+3)2
> 0.
k(x) est strictement croissante sur ] -oo ; -3 /2 [ union ]-3 /2 ; +
oo[.
|
Choisir 4 exercices
parmi les exercices suivants.
|
....
|
Exercice
5. Probabilités.
n est un entier naturel non nul.
Une urne contient n boules blanches et 5 boules noires. On
effectue un tirage de deux boules sans remise.
On pose :
B1
(respectivement B2
) l’évènement : « on tire une boule blanche au 1er (respectivement 2e
) tirage »
N1
(respectivement N2
) l’évènement : « on tire une boule noire au 1er (respectivement 2e
) tirage » .
A l’issue de cette épreuve, on compte le nombre de boules
blanches obtenues :
- si le joueur obtient deux boules blanches, il gagne 10 €.
- si le joueur obtient deux boules noires, il gagne 5 €.
- si le joueur obtient deux boules de deux couleurs différentes,
il perd 7 €.
Soit Xn la variable aléatoire qui prend pour valeurs
les gains algébriques du joueur.
a) La probabilité
d’obtenir deux boules de la même couleur est égale à
(n2 −n +20) / [
(n +4)(n +5)]. Vrai.
[n(n-1) +20] / [(n+4)(n+5)]=(n2 -n +20) / [
(n +4)(n +5)].
b) La probabilité de
l’évènement « la 1re boule est blanche, la 2e est
noire » est égale à celle de l’évènement « la 1re boule est
noire,
la 2e est blanche » . Vrai.
c)
L’espérance de la variable aléatoire Xn est E (Xn
) = (n2 +9n +20) / [
(n +4)(n +5)]. Faux.
|
2
boules blanches |
une
blanche et une noire
|
2
boules noires
|
Gain
|
10
|
-7
|
5
|
Probabilité
|
n(n-1)
/ [
(n +4)(n +5)] |
10
n / [
(n +4)(n +5)]. |
20
/ [
(n +4)(n +5)]. |
Espérance : [10 n(n-1) +100 -70n] / [
(n +4)(n +5)] =(10n2-80 n+100)/ [
(n +4)(n +5)].
d) Si le jeu est
favorable alors n >
1. Faux.
10n2-80 n+100 > 0 ; n2-8 n+10 > 0.
Etude de n2-8 n+10=0 ; discriminant D =64-40 =24~ 4,92.
Racines n1 ~(8-4,9) / 2 ~1,5 ; n2 ~(8+4,9)
/ 2 ~6,5.
Le jeu est favorable si n appartient à [ 7 ; +oo[ union n = 1.
Exercice 6. Etude d'une
fonction exponentielle.
Soit f la fonction définie sur R par f (x ) =x+2-4ex / (ex+2)
de courbe représentative C
. a) f
′
(x ) =3- 8ex / (ex+2)2. Faux.
On pose u = 4ex ; v = ex+2 ; u' = 4ex
; v' = ex ;
(u'v-v'u) / v2 =4ex (ex+2-ex)
/ (ex+2)2=8ex / (ex+2)2.
f '(x) =1-8ex / (ex+2)2.
b) La tangente à C au
point d’abscisse x = ln(2) a pour équation y = ln(2). Vrai.
Coefficient directeur de la tangente f '(ln2) =1-8 *2 / 16 =0.
Le point de coordonnées ( ln 2 ; f (ln 2) =ln 2 ) appartient à la
tangente.
Equation de la tangente : y = 0 x+b ; ln 2 = b ; b = ln 2.
y =ln 2.
c) L’équation
f (x ) = 0 admet deux solutions sur R. Faux.
f '(x) =[(ex+2)2-8ex] / (ex+2)2=(e2x+4+4ex-8ex)
/(ex+2)2 =(ex-2)2/ (ex+2)2
>0.
f(x) est strictement croissante sur R.
Quand x tend vers -oo, f(x) tend vers -oo.
Quand x tend vers +oo : ex / (ex+2) tend vers 1 ;
x+2 tend vers +oo ; f(x) tend vers +oo.
D'après le théorème de la bijection sur R, f (x ) = 0 admet une seule
solution sur R.
d. L'intégrale
suivante vaut 4 ln[3 /(e+2)]+2,5. Vrai.
Exercice
7 : lois à densité.
a. La fonction g
est une fonction densité de probabilité. Vrai.
Aire du trapèze ODEF : (OF +DE) x 0,4 / 2 = (4+1) x0,2 =1.
De plus la fonction g est continue, positive sur [0 ; 4]..
J est l'intervalle
[0 ; a]. h est la fonction définie sur J par h(x) = f(x).
On admet que la fonction h est une fonction densité de probabilité sur
l’intervalle J et on pose X la variable aléatoire continue
associée à la densité h.
b) a = 4. Vrai.
f(a) / 0,4 =(a-2) / (6-2) = (a-2) / 4 ; f(a) =0,1(a-2)
Aire triangle AOB = 2 x0,8 / 2 = 0,8; aire du triangle rectangle (a-2)
f(a) / 2=0,05(a-2)2.
0,8 +0,05(a-2)2 = 1 ; 0,05(a-2)2 =0,2 ; (a-2)2
=4 ; a-2 = 2 ; a = 4.
c) P(0,5 < X
<1,5) = 0,7. Faux.
P(0,5 < X <1,5) =Aire triangle AOB -0,5 *0,4 =0,8 -0,2=0,6.
c) P X >0,5(X
<4) = 1. Vrai.
P X >0,5(X
<4) =P(0,5 < X < 4) / (P(X > 0,5) =(1-0,5 *0,4 / 2)
/(1-0,5 *0,2 / 2) =1.
Exercice 8 : systèmes.
x et y sont deux nombres réels.
(C) est la parabole d’équation y + x2 +25 = 0 et, pour tout nombre réel m, (D ) est la droite d’équation y −(m +1)x = 0.
S est le système
y + x2 +25 = 0
et y −(m +1)x = 0.
a) (C) admet l’axe des ordonnées comme axe de symétrie. Vrai.
y = -x2-25.
Axe de symétrie : x = -b / 2a = 0 / 2 = 0.
b) (C) et (D
) ont deux points d’intersection. Faux.
Les abscisses des points d'intersection vérifient : x2 +(m+1)x +25=0.
Discriminant D =(m+1)2 -100 > 0.
m+1 > 10 soit m > 9 et m+1 > -10 soit m >-11.
Si m > 9 ou si m < -11, (C) et (D
) ont deux points d’intersection.
c) Le système S admet une unique solution si et seulement si m = −11. Faux.
Si m = -11 : x2 -10x +25=0.
Discriminant D =100-25*4=0.
Si m = 9 : x2 +10x +25=0.
Discriminant D =100-25*4=0.
d) Si m appartient à ]−11 ; 9[ alors le système S n’admet aucune solution. Vrai.
Discriminant D =(m+1)2 -100 < 0.
|
|
