Moteur de Stirling,
 concours ENAC pilote 2019.

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On schématise le fonctionnement d’un moteur de Stirling en considérant qu’un gaz (nombre de moles ), supposé parfait, évolue selon un cycle de quatre transformations : deux transformations isothermes et deux transformations isochores. L’isotherme AB est à la température T1 et l’isotherme CD à la température T2 > T1. Le gaz ne subit aucun changement d’état physique au cours de son cycle. Lors de la succession des deux transformations DA et AB, le gaz reçoit algébriquement la chaleur (ou transfert thermique) Q1. De même, lors de la succession des deux transformations BC et CD, le gaz reçoit algébriquement la chaleur (ou transfert thermique) Q2. On note g le rapport des capacités thermiques du gaz à pression constante et volume constant respectivement, et R≈ 8 J. K-1mol-1 désigne la constante des gaz parfaits.
En outre,VA et VB étant les volumes du gaz dans l’état A et B respectivement, on note a=VA / VB le rapport de compression du gaz.
 
19. On note W le travail (transfert mécanique) reçu algébriquement par le gaz sur un cycle de transformations. Quel est le signe de W et quel est le bilan énergétique du gaz au bout d’un cycle de transformations ?
A) W < 0 vrai ; B) W >0  ; C) W-Q1-Q2=0 ; D) W+Q1+Q2=0 vrai.
Au cours d'un cycle moteur le fluide fournit le travail W < 0  cède la chaleur Q1 à la source froide et prend la chaleur Q2 à la source chaude. Au cours de ce cycle l'énergie interne du fluide est nulle :
W+Q1+Q2=0.

20. Quelles sont les expressions de Q1 et Q2 ?
Transformation isochore DA : WDA = 0 ; QDA = DUDA = Cv(T1-T2).
Relation de Meyer : Cv =nR /(g-1).
QDA =nR /(g-1)(T1-T2).
DUAB =0, l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de la température.
QAB + WAB = 0 ;

Q1 = QDA +QAB =nR /(g-1)(T1-T2)-nRT1 ln a.

Transformation isochore BC : WBC = 0 ; QBC = DUBC = Cv(T2-T1).
Relation de Meyer : Cv =nR /(g-1).
QBC =nR /(g-1)(T2-T1).
DUCD =0, l'énergie interne d'un gaz parfait ne dépend que de la température.
QCD + WCD = 0 ;

Q2 = QBC +QCD =nR /(g-1)(T2-T1)+nRT2 ln a.
Réponse C.

21. On admet désormais que Q1 et Q2 sont respectivement identiques aux chaleurs Qf et Qc que le gaz recevrait algébriquement de la part d’une source froide (température Tf ) et de la part d’une source chaude (température Tc). Ce faisant, on se ramène à un moteur ditherme. Quelles sont, parmi les affirmations ci-dessous, celles qui sont inexactes ?
 A) Pour le gaz, Q1< 0 et Q2 > 0.
La source chaude donne de la chaleur au gaz : Q2 > 0. Le gaz cède de la chaleur à la source froide Q1< 0.
 B) Le rendement de ce moteur est inférieur à 1.
C) À la fin du cycle, la variation d’entropie DS du gaz est nulle.
D) L’efficacité du moteur est −W / Q2.
Travail récupéré sur l'énergie dépensée.
Toutes les affirmations sont justes.

  22. Déterminer l’efficacité du moteur.
Premier principe sur le cycle DU = 0 = W+Q1+Q2.
-W = Q1+Q2.
Rendement = -W / Q2 = (Q1+ Q2 ) / Q2.
Q1+ Q2 =nR (T2 -T1)ln a.
Q2 =nR /(g-1)(T2-T1)+nRT2 ln a.
Rendement =(T2 -T1)ln a / [1 /(g-1)(T2-T1)+T2 ln a]=(g-1)(T2 -T1)ln a / [(T2-T1)+(g-1)T2 ln a].
Rendement =(g-1)(T2 -T1)ln a / [T2(1+(g-1) ln a -T1].
Réponse B.

  23. . En considérant que ce moteur fonctionne entre les deux températures extrêmes Tf et Tc, quelle est l’efficacité du cycle de Carnot correspondant ?
Variation d'entropie dans le cas du cycle de Carnot :
DS =0= Qc / Tc +Qf / Tf  soit Qf / Qc = -Tf / Tc.
rendement = 1 +Q1 / Q2 = 1 +Qf / Qc =1-Tf / Tc.
Réponse A.

  24. Si on note Sc l’entropie créée au cours d’un cycle de ce moteur, quel est le bilan entropique du gaz au cours d’un tel cycle ?
Qc / Tc +Qf / Tf   + Sc =0 sur le cycle.
Réponse B.





  
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