Suites, Mathématiques, bac général Asie 2023. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . . . .. .. ...... ... Sujet 1. Partie A  On considère la suite (un), n entier naturel, définie par u0 = 400 et pour tout entier naturel n : un+1 = 0,9un +60. 1. a. Calculer u1 et u2. u1 = 400 x0,9 +60 =420. u2 = 420 x0,9 +60 =438. b. Conjecturer le sens de variation de la suite (un). Cette suite est croissante.  2. Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, on a l’inégalité 0 6< un < un+1 < 600. Initialisation : 0 < u0 < u1 < 600. La propriété est vraie au rang 0. Hérédité : 0 6< un < un+1 < 600 est supposé vrai. 0  x0,9< 0,9un < 0,9un+1 < 0,9x600. 0 < 0,9un < 0,9un+1 < 540. 0 +60< 0,9un+60 < 0,9un+1+60 < 540+60. 60< un+1 < un+2 < 600. 0< un+1 < un+2 < 600. La propriété est vraie au rang n+1. Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire ; elle est vraie pour tout entier naturel.  3. a. Montrer que la suite (un)est convergente. D'après la question précédente, la suite est croissante et majorée par 600 : donc elle converge.  b. Déterminer la limite de la suite. Justifier. Soit f(x) = 0,9x +60, fonction affine. La suite est convergente et la fonction f(x) est continue. D'après le théorème du point fixe, la limite l est solution de l'équation f(x) = x. 0,9x+60 = x ; x = 600 ; l = 600. 4. On donne une fonction écrite en langage Python : def mystere(seuil) n=0 u =400 while u <=seuil : n = n+1 u = 0.9*u+60 return n Quelle valeur obtient-on en tapant dans la console de Python : mystere (500) ? u2 = 420 x0,9 +60 =438. u3 = 438 x0,9 +60 =454,2. u4 = 454,2 x0,9 +60 =468,78. u5 = 468,78 x0,9 +60 =481,902. u6 = 481,902 x0,9 +60 =493,7118. u7 = 493,7118 x0,9 +60 =504,34. La boucle s'exécute dans que u est inférieur à 500. La fonction renvoie la valeur 7.  Partie B.  Un arboriculteur possède un verger dans lequel il a la place de cultiver au maximum 500 arbres. Chaque année il vend 10 % des arbres de son verger et puis il replante 60 nouveaux arbres. Le verger compte 400 arbres en 2023. L’arboriculteur pense qu’il pourra continuer à vendre et à planter les arbres au même rythme pendant les années à venir. Va-t-il être confronté à un problème de place dans son verger ? Expliquer votre réponse. Chaque année il lui reste 90 % de ces arbres et il en plante 60. Le nombre d'arbres sera donc un+1 = 0,9un +60 en 2023 +n. u0 =400 ; en 2023 +7 soit en 2030, le nombre d'arbres sera de 504, il devra alors modifier son rythme de plantation. ... .... Sujet 2. On décide d’étudier le rayonnement radioactif du polonium lors de la désintégration des noyaux atomiques au cours du temps. Au début de l’expérience, on dispose d’un morceau de 2 g de polonium. On sait que 1 g de polonium contient 3×1021 noyaux atomiques. On admet que, au bout de 24 heures, 0,5% des noyaux se sont désintégrés et que, pour compenser cette disparition, on ajoute alors 0,005 g de polonium. On modélise la situation à l’aide d’une suite (vn), n entier naturel ; on note v0 le nombre de noyaux contenus dans le polonium au début de l’expérience. Pour n > 1, vn désigne le nombre de noyaux contenus dans le polonium au bout de n jours écoulés. 1. a. Vérifier que v0 = 6×1021 . Initialement 2 g de polonium contiennent 2 x 3 1021 = 6 1021 noyaux  b. Expliquer que, pour tout nombre entier naturel n, on a vn+1 = 0,995vn +1,5×1019 . Chaque jour, 0,5 % des noyaux se désintègrent: il en reste vn x0,995 et on ajoute 0,005 g de polonium soit 0,005 x3 1021 =1,5 1019 noyaux.  2. a. Démontrer, par récurrence sur n, que 0 < vn+1 < vn. Initialisation :  0 < v0  < 6 1021. La propriété est vraie au rang 0. Hérédité : 0 < vn+1 < vn. est supposé vrai. 0  x0,995< 0,995vn+1 < 0,995 vn. 0 < 0,995vn+1 <  0,995 vn. 0 +1,5×1019 < 0,995vn+1+1,5×1019 < 0,995vn+1,5×1019. 1,5×1019 < vn+2 < vn+1. 0< vn+2 < vn+1 . La propriété est vraie au rang n+1. Conclusion : la propriété est vraie au rang 0 et héréditaire ; elle est vraie pour tout entier naturel. b. En déduire que la suite (vn) est convergente. D'après la question précédente la suite est décroissante et bornée par zéro, donc elle converge. 3. On considère la suite (un) définie, pour tout entier naturel n, par : un = vn −3×1021 .  a. Montrer que la suite (un) est géométrique de raison 0,995. un+1 = vn+1 −3×1021 = 0,995vn +1,5×1019  −3×1021 . un+1 = 0,995vn -2,985×1021  =0,995(vn-3×1021 )= 0,995 un. Il s'agit d'une suite géométrique de raison 0,995 et de premier terme u0 =3×1021 .  b. En déduire que, pour tout entier naturel n, vn = 3×1021 (0,995n +1). c. En déduire la limite de la suite (vn) et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice. un = 3 x 1021 x0,995n ; vn = un +3×1021 =3 x 1021 x0,995n +3×1021 = 3×1021 (0,995n +1). 0 < 0,995 < 1 ; 0,995n tend vers zéro si n tend vers plus l'infini. vn tend vers 3 x 1021. Au bout d'un temps suffisamment long, le nombre de noyaux de polonium sera égal à 3 x 1021. 4. Déterminer, par le calcul, au bout de combien de jours le nombre de noyaux de polonium sera inférieur à 4,5×1021. Justifier la réponse. 3×1021 (0,995n +1) < 4,5×1021. 0,995n +1 < 4,5 / 3 =1,5. 0,995n < 0,5. -n ln(0,995) > -ln(0,5). n > ln(0,5) / ln(0,995) ; n > 1,38 102  ; n = 139. 5. On souhaite disposer de la liste des termes de la suite (vn). Pour cela, on utilise une fonction appelée noyaux programmée en langage Python et retranscrite partiellement ci-après.  def noyaux (n) :  V =6*10**21   L=[V] for k in range (n) :  V= ...  L.append(V)  return L  a. À la lecture des questions précédentes, proposer deux solutions différentes pour compléter la ligne 5 de la fonction noyaux afin qu’elle réponde au problème. V = 0,995*V+1.5*10**19. V =3*10**21*(0.995**n+1) b. Pour quelle valeur de l’entier n la commande noyaux(n) renverra-t-elle les relevés quotidiens du nombre de noyaux contenus dans l’échantillon de polonium pendant 52 semaines d’étude ? 52 semaines  soit 52x7 = 364 jours. Il faut écrire noyaux(364).

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