Fonctions, Mathématiques, bac général Asie 2023. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . . . .. .. ...... ... Sujet 1. Soit k un réel strictement positif. Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de solutions de l’équation ln(x) = k x de paramètre k. 1. Conjectures graphiques : On a représenté, ci-dessous, dans un repère orthogonal, la courbe d’équation y = ln(x), la droite d’équation y = x ainsi que la droite d’équation y = 0,2x : À partir du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l’équation ln(x) = k x pour k = 1 puis pour k = 0,2. our k = 1, l'équation ln(x) = x n'a pas de solution. Pour k = 0,2, l'équation ln(x) = x a deux solutions.  2. Étude du cas k = 1 : On considère la fonction f , définie et dérivable sur ]0 ; +∞[, par : f (x) = ln(x)− x. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f . a. Calculer f ′ (x). f '(x) = 1 /x-1 = (1-x) / x.  b. Étudier le sens de variation de la fonction f sur ]0 ; +∞[. Dresser le tableau des variations de la fonction f en y faisant figurer la valeur exacte des extremums s’il y en a. Les limites aux bornes de l’intervalle de définition ne sont pas attendues.  c. En déduire le nombre de solutions de l’équation ln(x) = x. x est striftement positif et f(x) strictement négatif ; l'équation ln(x) = x n'a pas de solution. 3. Étude du cas général : k est un nombre réel strictement positif. On considère la fonction g définie sur ]0 ; +∞[ par : g(x) = ln(x)−k x. On admet que le tableau des variations de la fonction g est le suivant : a. Donner, en fonction du signe de g ( 1/ k ) le nombre de solutions de l’équation g(x) = 0. Si g ( 1/ k ) < 0, l’équation g(x) = 0 n'a pas de solution. Si g ( 1/ k ) = 0, l’équation g(x) = 0 admet une seule solution 1 / k. Si g ( 1/ k ) > 0 :  f(x) est continue (  car dérivable) et  strictemennt croissante sur ]0 ; 1 /k] et 0 est une valeur comprise entre -oo ( limite de g(x) en moins l'infini) et g(1/k) >0. D'après le théorème de la bijection, l'équation g(x) =0 admet une solution unique sur cet intervalle. De même sur ]1/k ; +oo[, g  est continue et strictement décroissante  de g(1/k) à moins l'infini. D'après le théorème de la bijection, l'équation g(x) =0 admet une solution unique sur cet intervalle. g(x) = 0 admet deux solutions dans  ce cas. b. Calculer g (1/k) en fonction du réel k. k >0, 1 / k >0 : 1 / k appartient à l'ensemble de définition de la fonction g. g(1 / k) = ln(1 / k)-k *(1 / k) = ln(1 / k) -1 = -ln(k) -1.  c. Montrer que g (1/k) > 0 équivaut à ln(k) < −1. -ln(k) -1 > 0 ; -ln(k) > 1 ; ln(k) < -1.  d. Déterminer l’ensemble des valeurs de k pour lesquelles l’équation ln(x) = k x possède exactement deux solutions. D'après la question précédente, l'équation ln(x) = kx possède exactement 2 solutions correspond aux nombres k tels que : ln(k) < -1 soit k < e-1. k appartient à ]0 ; e-1[. e. Donner, selon les valeurs de k, le nombre de solutions de l’équation ln(x) = k x. Si k appartient à ]0 ; e-1[ l'équation admet  deux solutions. Si k = e-1, l'équation admet une solution. Si k < e-1, l'équation n'a pas de solution. ... .... Sujet 2. On considère la fonction f définie sur R par f (x) = ln( e 2x −e x +1 ) . On note C sa courbe représentative représentée ci-dessous. Un élève formule les conjectures suivantes à partir de cette représentation graphique :  1. L’équation f (x) = 2 semble admettre au moins une solution.  2. Le plus grand intervalle sur lequel la fonction f semble être croissante est [−0,5 ; +∞[.  3. L’équation de la tangente au point d’abscisse x = 0 semble être : y = 1,5x. Le but de cet exercice est de valider ou rejeter les conjectures concernant la fonction f .  Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire  On définit sur R la fonction g définie par g(x) = e 2x −e x +1. 1. Déterminer la limite de g(x) en moins l'infini. Les termes en exponentielle tendent vers zéro quand x tend vers moins l'infini ; la fonction g tend vers 1.  2. Montrer que la limite de g(x) en plus l'infini est plus l'infini. g(x) = e2x(1-1/ex+1/e2x). 1/ex+1/e2x tendent vers zéro quand x tend vers plus l'infini ; e2x tend vers plus l'infini.  3. Montrer que g ′ (x) = e x (2ex −1) pour tout x réel. g '(x) = 2 e2x-ex =2 ex *ex -ex =e x (2ex −1).  4. Étudier le sens de variation de la fonction g sur R. Dresser le tableau des variations de la fonction g en y faisant figurer la valeur exacte des extremums s’il y en a, ainsi que les limites. 5. En déduire le signe de g sur R. g est strictement positive sur R.  6. Sans en mener nécessairement les calculs, expliquer comment on pourrait établir le résultat de la question 5 en posant X = e x . g (X) = X2 -X+1 avec X positif. Il s'agit d'un polynome du second degré avec un minimum pour X = 1/2 = 0,5 ; g(0,5) = 0,52 -0,5 +1=0,75. Partie B 1. Justifier que la fonction f est bien définie sur R. g(x) >0 sur R ; ln(g(x)) est définie sur R.  2. La fonction dérivée de la fonction f est notée f ′ . Justifier que f ′ (x) = g ′ (x) /g(x) pour tout x réel. On pose u =g(x) = e 2x −e x +1 ; u' = g'(x) ;  f '(x) =  u' / u = g'(x) / g(x). 3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 0. Coefficient directeur de cette tangente : f '(0) = g'(0) / g(0) ; g'(0) = 1 ; g(0)=1. f '(0) = 1. Le point de coordonnées (0 ; f(0) =0 ) appartient à la tangente. Equation de la tangente : y = x.  4. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur ]−ln(2) ; +∞[. Sur ]−ln(2) ; +∞[, g(x) est strictement positive et g'(x) est strictement positive. f '(x) > 0 et f(x) est strictement croissante.  5. Montrer que l’équation f (x) = 2 admet une unique solution a sur [−ln(2) ; +∞[ et déterminer une valeur approchée de a à 10−2 près. f(-ln(2)) = ln(g(-ln(2)) = ln(0,75) ~ -0,29. En plus l'infini : g(x) tend vers plus l'infini, par composition des fonctions ln(g(x)) tend vers plus l'infini. La fonction f est continue car dérivable sur ]ln(2) ; +oo[, strictement croissante de f(-ln(2)) < 2 à plus l'infini. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel unique a de  ]-ln(2) ; +oo[ tel que a = 0. La calculatrice conduit à : f(1,1) ~1,9 ; f(1,2)~2,2. f(1,12) ~1,99 ; f(1,13)~2,01. a appartient  à ]1,12 ; 1,13[. Partie C À l’aide des résultats de la partie B, indiquer, pour chaque conjecture de l’élève, si elle est vraie ou fausse. Justifier. Conjecture 1 : vraie d'après le résultat précédent. Conjecture 2 : fausse car f est croisante sur ]-ln(2) ; +oo[. Conjecture 3 : fausse ; l'équation de la tangente est y = x.

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