Probabilités, fonctions, Mathématiques, bac général Centres étrangers 2023.

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Dans une grande ville française, des trottinettes électriques sont mises à disposition des usagers. Une entreprise, chargée de l’entretien du parc de trottinettes, contrôle leur état chaque lundi.
 Partie A.
On estime que :
 - lorsqu’une trottinette est en bon état un lundi, la probabilité qu’elle soit encore en bon état le lundi suivant est 0,9 ;
 - lorsqu’une trottinette est en mauvais état un lundi, la probabilité qu’elle soit en bon état le lundi suivant est 0,4.
 On s’intéresse à l’état d’une trottinette lors des phases de contrôle. Soit n un entier naturel. On note Bn l’événement « la trottinette est en bon état n semaines après sa mise en service » et pn la probabilité de Bn.
Lors de sa mise en service, la trottinette est en bon état. On a donc p0 = 1.
1. Donner p1 et montrer que p2 = 0,85. On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.

2. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
3. En déduire que, pour tout entier naturel n, pn+1 = 0,5pn + 0,4.

 4. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, pn ⩾ 0,8.
Initialisation : p1 =0,9, la propriété est vraie au rang 1.
Héréditépn ⩾ 0,8 est supposé vrai.
pn+1 = 0,5 pn +0,4 ;
pn+1 > 0,5 x0,8 +0,4 ; pn+1 > 0,8. La propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang 1 et héréditaire, elle est vraie pour tout entier n.
 b. À partir de ce résultat, quelle communication l’entreprise peut-elle envisager pour valoriser la fiabilité du parc ?
La probabilité qu'une trotinette soit en bon état à tout moment est supérieure à 0,8.
5. a. On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un = pn − 0,8. Montrer que (un) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
pn+1 = 0,5pn + 0,4 ; un+1 = pn+1 − 0,8= 0,5pn - 0,4=0,5 (pn − 0,8)=0,5 un.
u0 =p0-0,8=0,2 ; raison q = 0,5.
 b. En déduire l'expression de un puis de pn en fonction de n.
un =0,2 x0,5n ; pn =un +0,8 = 0,2 x0,5n +0,8.
c. En déduire la limite de la suite (pn).
0,5 < 1 ; 0,5n tens vers zéro si n tend vers plus l'infini ; pn tend vers 0,8.

Partie B.
Dans cette partie, on modélise la situation de la façon suivante :
- l’état d’une trottinette est indépendant de celui des autres ;
- la probabilité qu’une trottinette soit en bon état est égale à 0,8.
On note X la variable aléatoire qui, à un lot de 15 trottinettes, associe le nombre de trottinettes en bon état.
Le nombre de trottinettes du parc étant très important, le prélèvement de 15 trottinettes peut être assimilé à un tirage avec remise.
1. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
On répète 15 fois et de manière indépendante la même épreuve de Bernouilli de paramètre p=0,8.
X suit la loi Binomiale de paramètres n = 15 ; p = 0,8.
 2. Calculer la probabilité que les 15 trottinettes soient en bon état.
p(X = 15 = 0,815 ~0,035.
 3. Calculer la probabilité qu’au moins 10 trottinettes soient en bon état dans un lot de 15.
p(X>10) = 1-p(X < 9) =0,939.
 4. On admet que E(X) = 12. Interpréter le résultat.
En moyenne, 12 trotinettes sont en bon état sur un lot de 15.

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Une société de production s’interroge sur l’opportunité de programmer un jeu télévisé. Ce jeu réunit quatre candidats et se déroule en deux phases. La première phase est une phase de qualification. Cette phase ne dépend que du hasard. Pour chaque candidat, la probabilité de se qualifier est 0,6 . La deuxième phase est une compétition entre les candidats qualifiés. Elle n’a lieu que si deux candidats au moins sont qualifiés. Sa durée dépend du nombre de candidats qualifiés comme l’indique le tableau ci-dessous (lorsqu’il n’y a pas de deuxième phase, on considère que sa durée est nulle).
Nombre de canndidats qualifiés pour la deuxième phase
0
1
2
3
4
Durée de la deuxième phase ( min)
0
0
5
9
11
Pour que la société décide de retenir ce jeu, il faut que les deux conditions suivantes soient vérifiées :
 Condition n°1 : La deuxième phase doit avoir lieu dans au moins 80% des cas.
Condition n°2 : La durée moyenne de la deuxième phase ne doit pas excéder 6 minutes.
Le jeu peut-il être retenu ?
On note X la variable aléatoire comptant le nombre de candidats qualifiés lors de la première phase.
On répète de manière indépendante 4 fois la même épreuve de Bernoulli de paramètre 0,6.
p(X > 2) =1-p(X = 0)-p(X=1)=1 -0,44 -(4 1)0,61 x0,43 ~0,821.
Cette valeur étant supérieure à 0,8, la première condition est vérifiée.
Durée moyenne : 5 p(X=2) +9P(X=3) +11P(X=4) ~6,3.
Cette valeur étant supérieure à 6, la seconde condition n'est pas vérifiée. le jeu n'est pas retenu.

Fonction et suite.
On considère la fonction fdéfinie sur ]−1,5 ; +∞[ par f(x) = ln(2x + 3) − 1. Le but de cet exercice est d’étudier la convergence de la suite (un) définie par : u0 = 0 et u𝑛+1 = f(un) pour tout entier naturel n.
Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire
On considère la fonction g définie sur ]−1,5 ; +∞[ par g(x) = f(x) − x.
1. Déterminer la limite de la fonction g en −1,5.
Quand  x  tend vers -1,5 : ln(2x+3) tend vers zéro et f(x) tend vers moins l'infini
g(x) tend donc vers moins l'infini.
On admet que la limite de la fonction g en +∞ est −∞.
 2. Étudier les variations de la fonction g sur ]−1,5 ; +∞[.
f '(x) = 2 /(2x+3) ; g'(x) = 2 /(2x+3)-1 = (2-2x-3) / (2x+3) =-(2x+1) /(2x+3).
2x+3 > 0 ; g'(x) a le signe de -(2x+1).
Si x < -0,5, g'(x) > 0 et g(x) est strictement croissante.
Si x > -0,5, g'(x) < 0 et g(x) est strictement décroissante.
Si x = -0,5, g'(x) =0, g(x) présente un maximum.
3. a. Démontrer que, dans l’intervalle ]−0,5 ; +∞[, l’équation g(x) = 0 admet une unique solution a.
g est continue car dérivable sur ]-0,5 ; +oo[.
g(-0,5) = ln(2)-0,5 ~0,19 >0.
En plus l'infini, g(x) tend vers  moins l'infini.
D'après le théorèmede la bijection, l'équation g(x) = 0 admet une solution unique sur ]0,5 ; +oo[.
b. Déterminer un encadrement de a d’amplitude 10−2.
La calculatrice donne a ~0,256 : 0,25 < a  < 0,26.

Partie B : Étude de la suite (un)
On admet que la fonction f est strictement croissante sur ]−1,5 ; +∞[.
1. Soit x un nombre réel.
Montrer que si x ∈ [−1; a] alors f(x) ∈ [−1; a].
g(a) = 0 ; donc f(a)-a =0 ; f(a) = a.
f(-1) = -1.
La fonction f est strictement croissante sur ]-1,5 ; +oo[.
Pour x appartenant à [−1; a], f(x) apartient à [f(-1) ; f(a)] soit   f(x) ∈ [−1; a].
2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n : −1 ⩽ un ⩽ un+1a.
On note P(n) telle que −1 ⩽ un ⩽ un+1a.
Initialisation : u0 = 0 ; u1 = f(0)=ln(3)-1 ~0,1.
0 ⩽ u0 ⩽ u1a. la propriété est vraie au rang zéro.
Hérédité  : −1 ⩽ un ⩽ un+1a est supposé vraie.
La fonction f est strictement croissante sur ]-1,5 ; +oo[, donc f(un) < f(un+1), soit un+1 < un+2.
De plus pour tout x appartenant à [-1 ; a], f(x) appartient à [-1 ; a].
Par suite un+1 et un+2 appartiennent à [-1 ; a].
-1 < un+1 < un+2 < a. Pn+1 est vraie.
Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire, donc elle est vrai pour tout entier n.
 b. En déduire que la suite (un) converge.
La suite étant croissante et majorée par a, elle converge.


  
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