L'exoplanète, notée P, orbite autour de son étoile, noté E.
A. Détection par la méthode du transit.
On mesure régulièrement la luminosité d'une étoile afin de détecter la
baisse périodique de sa luminosité, associée au passage par
rapport à l'observateur d'une exoplanète devant l'étoile.
1. Justifier le terme périodique à partir de la figure suivante.
La courbe se reproduit indentique à elle même au bout d'un temps noté T.
2. Déterminer T.
T= 105 / 13 ~8,1 heures.
B. Mouvement de l'exoplanète.
Dans le référentiel de l'étoile, on considère que l'orbite de P est circulaire, de centre O ( centre de l'étoile), de rayon r.
La masse de l'exoplanète est notée m et la masse de l'étoile est M = 9,5 1029 kg.
3. Représenter la force gravitationnelle exercée par E sur P.
4. Ecrire l'expression vectorielle de cette force.
5. Enoncer la deuxième loi de Kepler ou loi des aires.
6. Compléter la figure afin d'illustrer cette loi et justifier que le mouvement de P est uniforme.
Le mouvement de chaque planète est tel que le segment de droite reliant l'étoile et la planète balaie des aires égales pendant des durées égales.
Les aires hachurées sont égales.
7. Appliquer la seconde loi de Newton à P et montrer que sa vitesse est v=(GM / r)½.
Voir schéma ci-dessus.
La seule force appliquée est la force gravitationnelle exercée par l'étoile.
Le vecteur accélération est dirigé vers le centre du soleil.
La
composante de l'accélération étant nulle suivant le vecteur t de la
base de Frenet, la norme du vecteur vitesse ne change pas (mouvement
uniforme)
8.
Donner l'expression de sa période de révolution T en fonction de sa
vitesse v et du rayon de l'orbite r. En déduire la troisième loi de
Kepler.
Durée (s) nécessaire pour décrire une circonférence ( 2pr en mètre) à la vitesse v ( m/s).
2pr = v T ; T= 2pr / v.
Expression de T en fonction de G, M et r :
Elever au carré l'expression de la période : T2 = 4p2 r 2 / v2.
Remplacer v2 par son expression GM/ r : T2 = 4p2 r 3 / (GM).
9. On admet que T = 7,7 heures. Montrer que r est voisin de 1 million de km.
r3=GM T2 / (4p2)=6,67 10-11 x 9,5 1029 x(7,7 x3600)2 / (4 x3,142)=1,2 1027 m3.
r =1,07 109 m =1,07 106 km.