Plongeon
de haut vol, bac Centres étrangers
2023.
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Le
plongeoir est installé à une hauteur de 27 m au dessus de l'eau. le
plongeon est effectué en 3 s. La vitesse d'impact lors de l'entrée de
l'eau est proche de 90 km / h. On se concentre sur le centre de masse
du plongeur, noté P. L'origine O du repère coïncide avec la position du centre de masse à t = 0.
Masse du plongeur m = 80 kg.
Etude énergétique.
L'énergie potentielle de pesanteur est nulle pour y = 0.
1. Compléter les lignes 35 et 36 du code Python.
Le
programme permet les représentations graphiques des évolutions au cours
du temps des énergies cinétique et potentielle du plongeur durant
quelques millisecondes qui suivent le début de la chute.
2. Justifier que la courbe en pointillés est celle de l'évolution de l'énergie cinétique au cours du temps.
L'énergie potentielle est nulle à t = 0. L'énergie cinétique diminue jusqu'au sommet de la trajectoire puis augmente.
3. Montrer que v0 ~2,3 m /s.
Energie cinétique initiale =200 = ½mv02 = 40v02 ; v02 =5 ; v0=2,23 ~2,3 m /s.
Un autre relevé des coordonnées du point P, effectué sur une durée plus longue conduit au tracé ci-dessous :
L'énergie mécanique est constante si t < 0,4 s puis diminue.
4. Pour chaque phase préciser si les frottements sont négligeables ou non. Justifier.
t < 0,4 s : frottement négligeable et énergie mécanique constante.
t > 0,4 s : frottement non négligeable ; l'énergie mécanique diminue du travail des frottements.
5.
Formuler une hypothèse sur l'importance des forces de frottement en
fonction de la vitesse, suivant que celle-ci est faible ou élevée.
Aux petites vitesses : l'énergie mécanique diminue peu et les frottements restent faibles.
Aux vitesses élevées : l'énergie mécanique diminue beaucoup plus et les frottements sont plus importants.
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Etude cinématique.
6. En utilisant les valeurs du tableau ci-dessus, calculer les coordonnées v0x et v0y, coordonnées du vecteur vitesse initiale.
v0x = (0,050-0)/ (0,033-0)=1,515 ~1,5 m /s.
v0y = (0,060-0)/ (0,033-0)=1,818~1,8 m /s.
7. Vérifier que a = 50°.
v0 =(1,5152 +1,8182)½=2,367 m/s.
v0x =v0 cos a ; cos a = 1,515 / 2,367=0,640 ; a~50°.
v0y =v0 sin a ; sin a = 1,818 / 2,367=0,768 ; a~50°.
Dans la suite, on fait l'hypothèse d'une chute libre. A t = 0 P est à 28 m au dessus de l'eau.
8. Appliquer la seconde loi de Newton au plongeur.
9. Exprimer les coordonnées du vecteur accélération et celles du vecteur vitesse.
10. En déduire les équations horaires du mouvement de P.
La position est une primitive de la vitesse et la position initiale est l'origine du repère.
x(t) = v0x t =v0 cos a t.
y(t) = -½gt2 +v0y t = -½gt2 +v0 sin a t .
11. Etablir l'équation de la trajectoire et montrer qu'elle est compatible avec celle représentée.
t = x / (v0 cos a ).
Repport dans y(t) : y = -½g x2 / (v0 cos a )2+ tan a x.
Equation d'une parabole, en accord avec le schéma.
12. Montrer que la durée de la chute est solution de l'équation : -4,9 t2 +1,8t+28=0.
Au contact avec l'eau y =-28 ; -½gt2 +v0 sin a t =-28.
-4,9 t2 +2,367 x sin 50 t +28 = 0.
-4,9 t2 +1,8t+28=0.
Cette équation admet deux solutions t1 = -2,21 s et t2 = 2,58 s.
Expérimentalement la durée de la chute vaut Dt= 2,8 s. La valeur de l'incertitude sur cette durée est u(Dt) = 0,3 s.
13. Vérifier que l'hypothèse de la chute libre est valide.
2,5 < Dt < 3,1 s.
t2 =2,56 s appartient à cet intervalle : l'hypothèse est valide.
14.15. Montrer que la vitesse lors de l'entrée dans l'eau est de l'ordre de 24 m /s.
vx=1,515 m /s ; vy=v0y-gt=1,818-9,81 x2,58= -23,5 m/s.
v=(1,5152 +23,52)½=23,54 ~24 m/s ou 23,54 x3,6 ~85 km /h.
Cette valeur est en accord avec 90 km /h du texte ci-dessus.
Une fois dans l'eau, le plongeur s'immobilise en 0,5 s.
16. Estimer la valeur de l'accélération aeau subie par le plongeur.
|aeau| = |variation de la vitesse| / durée = 24 / 0,5 = 48 m s-2 soit environ 5 g.
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