Fonctions,suites, spécialité mathématiques bac 2024.

L’exercice est constitué de deux parties indépendantes.
Partie I
On considère l’équation différentielle (𝐸)∶y'+y=e^−𝑥.
1. Soit u la fonction définie sur R par u(x)=xe^-x.
Vérifier que la fonction u est une solution de l’équation différentielle (E).
Calcul de u' en posant v = x et w = e^-x ; v' = 1 ; w' = -e^-x.
v'w+w'v = e^-x -xe^-x=e^-x(1-x).
Repport dans (E) : e^-x(1-x)+xe^-x=e^−𝑥 est vérifiée quel que soit x.
2. On considère l’équation différentielle (E′)∶𝑦′+𝑦=0.
Résoudre l’équation différentielle (E′) sur R.
y = A e^-x avec A une constante réelle.
3. En déduire toutes les solution de l’équation différentielle (E) sur R.
f(x) =A e^-x +u(x) =A e^-x +xe^-x.
4. Déterminer l’unique solution g de l’équation différentielle (E) telle que g(0)=2.
A e^-0 +0 e^-0= 2 ; A = 2.
g(x) =2e^-x +xe^-x.

Partie II
Dans cette partie, k est un nombre réel fixé que l’on cherche à déterminer.
On considère la fonction f_k définie sur R par f_k(x))=(x+k)e^-x.
Soit h la fonction définie sur R par h(x)=e^−𝑥.
On note C_k la courbe représentative de la fonction f_k dans un repère orthogonal et C la courbe représentative de la fonction H.
On a représenté les courbes C_k et C sans indiquer les unités sur les axes ni le nom des courbes.
1. Sur le graphique l’une des courbes est en traits pointillés, l’autre est en trait plein. Laquelle est la courbe C ?
2. En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel k et placer sur l’annexe à rendre avec la copie l’unité sur chacun des axes du graphique.

h(x)=e^−𝑥 : quand x tend vers plus l'infini, h(x) tend vers zéro ; quand x tend vers moins l'infini, h(x) tend vers plus l'infini.
Quand x =0, h(0) = 1.
f_k(x))=(x+k)e^-x : quan x = 0, f_k(x) = k = 2.
On dérive en posant u = x+2 et v = e^-x ; u' = 1 ; v' = -e^-x ; u'v+v'u = e^-x -(x+2)e^-x=e^-x (-x-1).
La dérivée s'annule pour x = -1 et f_k(x) présente un extrémum.

Exercice 2.
Partie I.
Pour tout entier 𝑛 supérieur ou égal à 1, on désigne par f_n la fonction définie sur [0 ;1] par : f_n(x)=xⁿe^x.
On note C_n la courbe représentative de la fonction f_n dans un repère du plan.
On désigne par (I_n) la suite définie pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par :

1. a. On désigne par F₁ la fonction définie sur [0 ;1] par :
F₁(𝑥)=(x−1)e^𝑥.
Vérifier que F₁ est une primitive de la fonction f₁.
On dérive F₁ en posant u = x-1 et v = e^x ; u' = 1 ; v' = e^x ; u'v+v'u = xe^x = f₁(x).
b. Calculer I₁.
I₁ = F₁(1)-F₁(0) =0-(-1) = 1.
2. À l’aide d’une intégration par parties, établir la relation pour tout n supérieur ou égal à 1,
I_n+1=e−(n+1)I_n.
On pose u = xⁿ⁺¹ et v '= e^x ; u' = (n+1) xⁿ ; v' = e^x.

3. Calculer I₂.
I₂=e−(1+1)I₁=e-2.
4. On considère la fonction mystere écrite dans le langage Python :
from math import e # la constante d'Euler e
def mystere(n):
a = 1
L = [a]
for i in range(1,n):
a = e - (i+1)*a
L.append(a)
return L
À l’aide des questions précédentes, expliquer ce que renvoie l’appel mystere(5).
Cette fonction renvoie la liste des valeurs I₁, I₂, I₃, I₄ et I₅.

Partie II
1. Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les courbes C₁, C₂, C₃, C₁₀, C₂₀ et C₃₀ .

a. Donner une interprétation graphique de I_n.
I_n est la valeur de l'aire comprise entre l'axe des abscisses, la courbe C_n et les droites d'équation x=0 et x=1.
b. Quelle conjecture peut-on émettre sur la limite de la suite (I_n) ?
Cette aire diminue lorsque n augmente.
Conjecture : la limite de la suite (I_n) est nulle.
2. Montrer que pour tout n supérieur ou égal à 1,

0 < x < 1.
La fonction exponentielle e^x étant strictement croissante : e⁰ < e^x < e¹.
Multiplier par xⁿ positif : xⁿe⁰ < xⁿ e^x < xⁿe¹ ; xⁿ < xⁿ e^x < xⁿe ; 0 < xⁿ e^x < xⁿe .

3. En déduire la limite de I_n quand n tend vers plus l'infini.
Quand n tend vers plus l'infini, 1 / (n+1) tend vers zéro.