Probabilités,
spécialité mathématiques bac 2024.
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Exercice 3.
Dans un examen, une épreuve notée sur dix points est constituée de deux
exercices : le premier est noté sur deux points, le deuxième sur huit
points.
Partie I.
Le premier exercice est constitué de deux questions Q1 et Q2.
Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte
un point ; une réponse incorrecte, incomplète ou une absence de réponse
rapporte zéro point.
On considère que :
- Un candidat pris au hasard a une probabilité 0,8 de répondre correctement à la question Q1.
- Si le candidat répond correctement à Q1, il a une probabilité 0,6 de
répondre correctement à Q2 ; s’il ne répond pas correctement à Q1, il a
une probabilité 0,1 de répondre correctement à Q2.
On prend un candidat au hasard et on note :
𝐴 l’événement : « le candidat répond correctement à la question Q1 » ;
𝐵 l’événement : « le candidat répond correctement à la question Q2 ».
1. Recopier et compléter les pointillés de l’arbre pondéré ci-dessous.
2. Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement aux deux questions Q1 et Q2.
3. Calculer la probabilité que le candidat réponde correctement à la question Q2.
On note :
𝑋1 la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q1 ;
𝑋2 la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à la question Q2.
X la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note à l’exercice, c’est-à-dire
X = X1+X2.
4. Déterminer l’espérance de X1 et de X2. En déduire l’espérance de X. Donner une interprétation de l’espérance de X dans le contexte de
l’exercice.
valeur X1
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0
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1
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probabilité
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0,2
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0,8
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E(X1)=0,2 x0 +0,8 x1 = 0,8.
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valeur X2
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0
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1
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probabilité
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0,5
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0,5
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E(X2)=0,5 x0 +0,5 x1 = 0,5.
Linéarité de l'espérance :E(X) =E(X1)+E(X1)= 0,8 +0,5 = 1,3.
5. On souhaite déterminer la variance de X.
a. Déterminer P(X=0) et P(X=2). En déduire P(X=1).
P(X=0)= P(non A n non B)=0,18. ( deux réponses fausses).
P(X=2) =P(A n B)=0,48.
P(X=1) =1-P(X=0) -P(X=2) =1-0,18+0,48=0,34.
b. Montrer que la variance de X vaut 0,57.
V(X) = 0,18 ( 0-1,3)2 +0,48 (2-1,3)2+0,34 (1-1,3)2 =0,3042+0,2352 +0,0306=0,57.
c. A-t-on V(X)=V(X1)+V(X2) ? Est-ce surprenant ?
V(X1) = 0,8 ( 1-0,8)2 +0,2 (0-0,8)2 =0,032+0,128 =0,16.
V(X2) = 0,5 ( 1-0,5)2 +0,5 (0-0,5)2 =0,125+0,125 =0,25.
V(X1)+V(X2)=0,41.
V(X)=V(X1)+V(X2) n'est vraie que pour des événements indépendants.
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Partie II
Le deuxième exercice est constitué de huit questions indépendantes.
Chaque question est notée sur un point. Une réponse correcte rapporte
un point ; une réponse incorrecte et une absence de réponse rapporte
zéro point.
Les huit questions sont de même difficulté : pour chacune des
questions, un candidat a une probabilité de 0,75 de répondre
correctement, indépendamment des autres questions.
On note Y la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note au
deuxième exercice, c’est-à-dire le nombre de bonnes réponses.
1. Justifier que Y suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Répétition de 8 épreuves identiques et indépendantes.
L'expérience peut être assimilée à un tirage aléatoire avec remise. ( schéma de Bernoulli).
Y suit une loi binomiale de paramètres n = 8 et p = 0,75.
2. Donner la valeur exacte de P(Y=8).
P(Y=8)=(8 8) x0,758 x0,250 = 1 x0,758x1 =0,758.
3. Donner l’espérance et la variance de Y.
E(Y) = n p = 0,8 x0,75 = 0,6.
V(Y) = n p (1-p) =8 x0,75 x0,25=1,5.
Partie III
On suppose que les deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes.
On note la variable aléatoire qui, à un candidat, associe sa note
totale à l’examen : Z=X+Y.
1. Calculer l’espérance et la variance de Z.
E(Z) = E(X) + E(Y) = 1,3 +6 = 7,3.
Variables indépendantes : V(Z) =V(X) + V(Y) = 0,57 +1,5 = 2,07.
2. Soit n un nombre entier strictement positif.
Pour i entier variant de 1 à n, on note Zi la variable aléatoire qui, à
un échantillon de n élèves, associe la note de l’élève numéro i à
l’examen.
On admet que les variables aléatoires Z1, Z2,…,Z𝑛 sont identiques à Z et indépendantes.
On note Mn la variable aléatoire qui, à un échantillon de n élèves, associe la moyenne de leurs n notes, c’est-à-dire Mn=Z1+Z2+⋯+Zn.
a. Quelle est l’espérance de Mn ?
EMn) = 1 / n [(E(Z1) + E(Z2) +... +E(Zn)]= 1 / n x n E(Z) = E(Z) = 7,3. ( variables indépendantes et identiques à Z).
b. Quelles sont les valeurs de n telles que l’écart type de Mn soit inférieur ou égal à 0,5 ?
s(Mn) < 0,5 ; (V(Z) / n)½ < 0,5 ; V(Z) / n < 0,25 ; n / V(Z) > 4 ; n > 4 x2,07 ; n >8,28 soit n > 9.
c. Pour les valeurs trouvées en b., montrer que la probabilité que 6,3 < Mn < 8,3 est supérieure ou égale à 0,75.
6,3 < Mn < 8,3 ;
P(6,3 < Mn < 8,3)=P(7,3-1 < Mn < 7,3+1)=P(-1 < Mn -7,3 < 1).
=P(-11 <Mn-E(Mn) < 1 > 1)=P(|Mn-E(Mn)| < 1)
=1-P(|Mn-E(Mn)| > 1).
Inégalité de Bienaymé Tchebychev : P(|X-µ| > d )< V / d2 ;
On prend n > 9 : V(Mn)=2,07 / n < 2,07 / 9.
P(|Mn-E(Mn)| > 1)< 2,07 / 9.
1-P(|Mn-E(Mn)| > 1) > 1-2,07 / 9.
1-2,07/9 =0,93 / 9 ~0,77 > 0,75.
On a démontré que pour n > 9, P(6,3 < Mn < 8,3) > 0,75.
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