Probabilités,
fonctions, suite. Bac général Polynésie 09 / 2023.
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Exercice
1. (4 points) Thème : probabilités
Une concession automobile vend des véhicules à moteur électrique et des
véhicules à moteur thermique.
Certains clients, avant de se rendre sur le site de la concession, ont
consulté la plate-forme numérique de la concession. On a ainsi observé
que :
- 20 % des clients sont intéressés par les véhicules à moteur
électrique et 80 % préfèrent s’orienter vers l’achat d’un véhicule à
moteur thermique ;
- lorsqu’un client souhaite acheter un véhicule à moteur électrique, la
probabilité pour que le client ait consulté la plate-forme numérique
est de 0,5 ;
- lorsqu’un client souhaite acheter un véhicule à moteur thermique, la
probabilité pour que le client ait consulté la plate-forme numérique
est de 0,375.
On considère les événements suivants :
- C : « un client a consulté la plate-forme numérique » ;
- E : « un client souhaite acquérir un véhicule à moteur électrique » ;
- T : « un client souhaite acquérir un véhicule à moteur thermique ».
Les clients font des choix indépendants les uns des autres.
1.a. Calculer la probabilité qu’un client choisi au hasard
souhaite acquérir un véhicule à moteur électrique et ait consulté la
plate-forme numérique.
On pourra utiliser un arbre pondéré.
P(E n C) = 0,2 x0,5 = 0,1.
b. Démontrer que
P(C)=0,4.
Formule des probabilités totales : P(C) = P(E n C) + P(T n C) = 0,1
+0,3 = 0,4.
c. On suppose
qu’un client a consulté la plate-forme numérique.
Calculer la probabilité que le client souhaite acheter un véhicule à
moteur électrique.
PC(E) =P(C n E) / P(C) = 0,1 / 0,4 = 0,25.
2. La concession
accueille quotidiennement 17 clients en moyenne.
On note X la variable aléatoire donnant le nombre de clients souhaitant
acquérir un véhicule à moteur électrique.
a. Préciser la
nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie
par X.
Répétition de 17 épreuves identiques et
indépendantes.
L'expérience peut être assimilée à un tirage aléatoire avec remise. (
schéma de Bernoulli).
X suit une loi binomiale de paramètres n = 17 et p = 0,2
b. Calculer la probabilité qu’au
moins trois des clients souhaitent
acheter un véhicule à moteur électrique lors d’une journée. Donner le
résultat arrondi à 10−2 près.
P(X > 3) =
1-P(X=0) -P(X=1)-P(X=2)=1-P(X <
2)=1-0,31=0,69.
Exercice 2. (6
points) Thème : fonctions
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Partie A.
On considère la fonction f définie sur R par f(x)=(x+0,5)e-x+x.
1. Déterminer les
limites de f en −oo et en +oo.
En +oo : e-x tend vers zéro et f(x) tend vers +oo.
En -oo : e-x tend vers
+oo ; (x+12)e-x tend vers
-oo et f(x) tend vers -oo.
2. On admet que f est deux fois
dérivable sur R.
a. Démontrer que,
pour tout x réel , f "(x)=(x−1,5)e-x.
Calcul de f '(x) en posant u =x+0,5 et v = e-x ; u' = 1 et
v' = -e-x.
u'v +v' u = e-x -(x+0,5)e-x
= -e-x (x-0,5).
f '(x) = -e-x
(x-0,5) +1.
Calcul de f "(x) en posant u
=x-0,5 et v = -e-x ; u' = 1 et v' = e-x.
u'v +v' u = -e-x +(x-0,5)e-x
= e-x (x-1,5)
b. En déduire les variations et le
minimum de la fonction f ' sur R.
e-x >0 ; si x < 1,5, f "(x) < 0 et f '(x) est
décroissante.
si x > 1,5, f "(x) > 0 et f '(x) est croissante.
Si x = 1,5, f "(x) =0 et f '(x) présente un minimum.
c. Justifier que pour tout x réel,
f '(x) > 0.
f '(1,5) = -e-1,5(1,5-0,5)+1 =1-e-1,5 >0.
d. En déduire que l’équation f(x)=0
admet une unique solution sur R.
f '(x) > 0 , donc f(x) est strictement croissante de -oo à +oo.
f est continue et strictement monotone sur R, d'après le théorème des
valeurs intermédiaires, l’équation f(x)=0 admet une
unique solution sur R.
e. Donner une valeur arrondie à 10−3
de cette solution.
x = -0,285.
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Partie B
On considère une fonction h, définie et dérivable
sur R, ayant une expression de la forme h(x)=( ax+b ) 𝑒-x+x
, où a et b sont deux réels.
Dans un repère orthonormé ci-après figurent :
● la courbe représentative de la fonction h ;
● les points A et B de coordonnées respectives (-2 ; -2,5) et (2 ; 3,5).
1. Conjecturer,
avec la précision permise par le graphique, les abscisses des éventuels
points d’inflexion de la courbe représentative de la fonction h.
x ~1,5.
2. Sachant que la
fonction h admet sur R une dérivée seconde d’expression
h′′(x)=−1,5e−𝑥+xe-x,
valider ou non la conjecture précédente.
h′′(x)=(x-1,5)e−𝑥;
e−𝑥 étant positif, la dérivée seconde s'annule
et change de signe pour x = 1,5. La conjecture est valide.
3. Déterminer une
équation de la droite (AB).
y = ax +ß.
A(-2 ; -2,5) appartient à cette droite : -2,5 = -2a +ß.
B(2 ; 3,5) appartient à cette droite : 3,5 = 2a +ß.
Ajouter : 1= 2 ß ; ß = 0,5. Par suite a = 1,5.
y = 1,5 x +0,5.
4. Sachant que la
droite (AB) est tangente à la courbe représentative de la fonction h au
point d’abscisse 0, en déduire les valeurs de a et b.
Coordonnées du point de tangence : ( 0 ; 0,5).
Ce point appartient à la courbe 0,5=b
e0 +0 = b.
Calcul de h '(x) en posant u = ax+b et v = e-x ; u' = a ; v'
= -e-x.
u'v+v'u = ae-x -(ax+b)e-x ; h '(x) = ae-x
-(ax+b)e-x +1.
h'(0) = a-b+1 = a.
a-0,5 +1 = 1,5 ; a = 1.
Exercice 3. (5
points) Thèmes : suites, algorithmique
On considère la fonction f définie sur R par f(x)=0,75x2−2x+3.
1. Dresser le tableau de variations de f sur R.
f '(x) = 1,5 x-2.
f '(x) = 0 si x =4 /3.
f '(x) >0 si x > 4 /3 et f(x) est strictement croissante.
f '(x) < 0 si x < 4 /3 et f(x) est strictement décroissante.
2. En déduire, que pour tout x appartenant à l’intervalle
[4/3;2], f(x)) appartient à l’intervalle [4/3 ; 2].
Sur [4/3 ; 2], f(x) est continue et strictement croissante de 5/ 3 à f(2) =2.
3. Démontrer que pour tout x réel, x < f(x) .
Pour cela, on pourra démontrer que pour tout réel x : f(x) -x=3/4(x−2)2.
f(x) -x=0,75x2−3x+3 = 0,75 ( x2-4x+4)=0,75 (x-2)2 > 0.
Pour tout x réel, x < f(x) .
On considère la suite (un) définie par un réel u0 et pour tout
entier naturel n : un+1=f(un).
On a donc, pour tout entier naturel n, un+1=0,75un2−2un+3.
4. Etude du cas : 4/3 < u0 < 2.
a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, un < un+1 < 2.
Initialisation : u0 < 2 ; u20 < 4 ; 0,75u02< 3 ; 0,75u02−2u0 < -1 ; 0,75u02−2u0+3 < 2.
La propriété est vraie au rang zéro.
Hérédité : un < un+1 < 2 est supposé vrai.
La fonction étant strictement croissante sur [4/3;2] de 5/ 3 à f(2) =2 : f(un) < f(un+1 )< f(2) ;
un+1 < un+2 < 2
La propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier nturel n.
b. En déduire que la suite (un) est convergente.
La suite est croissante et bornée par 2 : donc elle converge.
c. Prouver que la limite de la suite est égale à 2.
A la limite : un = un+1 = l.
l=0,75l2−2l+3.
3/4 l2−3l+3=0.
l2−4l+4=0.
(l-2)2=0 ; l =2.
5. Etude du cas particulier : u0 = 3.
On admet que dans ce cas la suite (un) tend vers +oo.
Recopier et compléter la fonction « seuil » suivante écrite en Python,
afin qu’elle renvoie la plus petite valeur de n telle que un soit
supérieur ou égal à 100.
def seuil() :
u = 3
n = 0
while u < 100
u = 0,75u2−2u+3
n = n+1
return n
6. Etude du cas : u0 >2.
À l’aide d’un raisonnement par l’absurde, montrer que (un) n’est pas convergente.
Il suffit de démontrer que la proposition contraire " si u0 >2, alors (un) est convergente " est fausse.
Pour tout x > 2 :
Sur [2 ; +oo[, f(x) est continue et strictement croissante de 2 à +oo.
un+1> un. La suite (un) est divergente.
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