A la découverte de Saturne, bac général métropole 2023. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . . . .. .. ...... ... Le but de cet exercice est d’étudier la lunette astronomique de Huygens afin de comparer ses observations de Saturne et de ses anneaux à celles de Galilée. La fin de l’exercice est consacrée à l’étude du mouvement du satellite Titan à partir des observations de Huygens. 1. Observation de Saturne par Huygens  La lunette de Huygens, considérée comme afocale, est modélisée par un système de deux lentilles minces convergentes notées L1 et L2. La lentille L1 représente l’objectif et la lentille L2 l’oculaire. Leurs centres optiques respectifs sont notés O1 et O2 et leurs distances focales respectives sont notées f1' et f2'. La lunette est utilisée pour observer un objet AB, supposé « à l’infini », dont l’image par l’objectif sera notée A1B1. Deux rayons lumineux issus de B sont représentés sur le schéma. Q1. Préciser le sens du terme « afocal ». La lunette est afocale car elle donne d'un objet située à l'infini, une image située à l'infini. Des rayons parallèles entre eux avant le système optique, ressortent parallèles après le système. Q2. Placer, sur la figure les foyers objet F2 et image F’2 de la lentille L2 dans le cas d’une lunette afocale.  Q3. Construire, sur la figure la marche des deux rayons lumineux issus de B qui émergent de la lunette en faisant apparaître l’image intermédiaire A1B1. La lunette de Huygens est constituée d’un tube long de 372 cm. L’oculaire est placé à une extrémité du tube. L’objectif quant à lui est enfoncé de 36 cm par rapport à l’autre extrémité, afin de le protéger de la buée. Q4. Vérifier, à partir des données, que la lunette d’Huygens peut être considérée comme « afocale ». Données : f '1 = 329 cm ; f '2 = 7,0 cm. O1O2 =372 -36= 336 cm. O1O2 =f '1 +f '2.  L’angle a, représenté sur la figure désigne l’angle sous lequel l’espace AB entre la surface de Saturne et son premier anneau est vu à l’œil nu depuis la Terre, lorsque les anneaux de Saturne sont vus de face. On note a’ l’angle sous lequel un observateur voit l’image A’B’ de l’espace AB, à travers la lunette astronomique.  Q5. Placer l’angle a’ sur la figure.  Q6. Donner l’expression du grossissement GHuy de la lunette de Huygens en fonction des angles a et a’. GHuy = a' / a.  Q7. Montrer que le grossissement GHuy de la lunette de Huygens s’exprime en fonction des distances focales des lentilles L1 et L2 constituant la lunette : GHuy= f1' f2' . Triangle O1A1B1 : tan a ~ a =A1B1 / f '1. Triangle O2A1B1 : tan a' ~ a' =A1B1 / f '2 Par suite GHuy = a' / a.= f '1 / f '2. Q8. Calculer la valeur du grossissement GHuy de la lunette utilisée par Huygens.  GHuy=329 / 7,0 =47. Q9. Conclure sur la possibilité pour Huygens de distinguer la surface de Saturne de son premier anneau en utilisant la lunette. La distance entre la surface de Saturne et son premier anneau est égale à  DA-B = 3,17 104 km. Distance Terre-Saturne : DT-S = 1,42×109 km. a ~DA-B / DT-S =3,17 104 / (1,42 109)=2,23 10-5 rad. a' = 2,23 10-5 x47=1,0 10-3 rad. Cette valeur étant supérieure à 3,0 10-4 rad, Huygens  peut distinguer la surface de Saturne de son premier anneau en utilisant la lunette. 2. Prise en compte de la diffraction dans l’observation astronomique.  L’observation des détails d’un objet avec une lunette astronomique est principalement limitée par le phénomène de diffraction. En effet, l’image donnée par l’objectif d’une source ponctuelle « à l’infini » n’est pas un point mais une figure de diffraction circulaire, appelée tache d’Airy. Dans le cas de la lunette astronomique, on admet que l’angle caractéristique de diffraction vérifie la relation :  qdiff = 1,22 × λ / a avec l la longueur d’onde du faisceau incident et a le diamètre de l’objectif. Une lunette astronomique ne permet de distinguer deux points A et B que si l’écart angulaire q entre les directions de ces deux points vus depuis la Terre est supérieur ou égal à l’angle caractéristique de diffraction, c’est-à-dire si la condition q ≥ qdiff est vérifiée. Si ce n’est pas le cas, les taches d’Airy associées aux deux points se superposent et les deux points ne peuvent être séparés visuellement. Q10. Expliquer pourquoi on peut considérer que le phénomène de diffraction a empêché Galilée d’observer les anneaux de Saturne avec sa lunette astronomique contrairement à Huygens qui a pu les observer.  Une approche quantitative est attendue. On rappelle que la distance entre Saturne et la limite du premier anneau visible à l’époque est égale à DA-B = 3,17×104 km et on effectuera les calculs avec une valeur de la longueur d’onde l = 550 nm, pour laquelle l’œil humain est le plus sensible. Grossissement de la lunette de Galilée : GGal = 14. Diamètre de son objectif 29,0 mm. q = 2,23 10-5  rad.  qdiff = 1,22 ×550 10-9 / (29 10-3)=2,3 10-5 rad. q < qdiff Galilée ne peut pas observer les anneaux. Grossissement de la lunette de Huygens : GHuy = 47. Diamètre de son objectif 51,0 mm. q = 2,23 10-5 rad.  qdiff = 1,22 ×550 10-9 / (51 10-3)=1,3 10-5 rad. q > qdiff Huygens peut observer les anneaux. ... .... 3. Découverte de Titan par Huygens.  Le 25 mars 1655, à 8 heures du soir, employant sa lunette, Huygens aperçoit près de Saturne, un point brillant qu'il soupçonne être un satellite de cette planète. Plus tard, ce satellite sera appelé Titan. « Après le 25 mars 1655, à savoir le 10 avril, le satellite a été vu à la même position qu'il occupait à cette première date. De même, le 3 et le 19 avril de cette même année des positions identiques furent observées ; de même encore le 13 et le 29 de ce mois. Tenant donc compte de ces résultats, j'ai dessiné une circonférence de cercle représentant l'orbite du satellite, avec Saturne au centre, et je l'ai divisée en 16 parties, comme le montre la figure suivante. Dans cette orbite j'ai fait circuler le satellite suivant l'ordre naturel des chiffres. […] Q11. Justifier le choix de Huygens de diviser la trajectoire de Titan en 16 parties. Du 25 mars au 10 avril, il y a 16 jours ; de même du 3 au 19 avril ; de même du 13 au 29 avril. Le satellite a été vu à la même position qu'il occupait à cette première date. Le mouvement de Titan, noté T, est étudié dans le référentiel saturnocentrique, dont l’origine est placée au centre S de Saturne et dont les axes sont dirigés vers des étoiles lointaines. Il est considéré comme galiléen. On travaille dans le repère de Frenet . Dans Systema Saturnium, Huygens précise que la valeur de la période de révolution THuy de Titan est de « 15 jours 23 heures 13 minutes ». Masse de Saturne M ; masse de Titan : m ; rayon de l'orbite de Titan : r.  Q12. Donner l’expression vectorielle de la force d’interaction gravitationnelle exercée par Saturne sur le satellite Titan en fonction de G, M, m, r et de l’un des vecteurs unitaires. Q13. Le mouvement de Titan autour de S est supposé circulaire. Montrer qu’il est uniforme puis que l’expression de la vitesse du satellite s’écrit sous la forme : v = (GM / r)½. La norme de la vitesse étant constante, le mouvement est uniforme. Q14. En déduire l’expression de la période de révolution notée T de Titan. Calculer sa valeur. Commenter. Titan décrit une circonférence de rayon r en T seconde à la vitesse v (m/s). 2pr = vT ; v = 2pr  / T ; v2 =4 p2r2 / T2 = GM / r. T2=4p2r3/ (GM). M =5,68 1026 kg ; r = 1,22 109 m. T2=4 x3,142 x(1,22 109)3 / (6,67 10-11 x 5,68 1026 )=1,9 1012 ; T =1,4 106 s ou environ 16 jours, en accord avec les observations.

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