Probabilités, Mathématiques, bac général Métropole 2023. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . . . .. .. ...... ... Sujet 1. Un technicien contrôle les machines équipant une grande entreprise. Toutes ces machines sont identiques. On sait que :  - 20% des machines sont sous garantie ; - 0,2% des machines sont à la fois défectueuses et sous garantie ;  - 8,2% des machines sont défectueuses. Le technicien teste une machine au hasard. On considère les événements suivants :  - G : « la machine est sous garantie » ; - D : « la machine est défectueuse » ;  Pour répondre aux questions 1 à 3, on pourra s’aider de l’arbre proposé ci-dessous. 1. La probabilité pG(D) de l’événement D sachant que G est réalisé est égale à :  a. 0,002 ; b. 0,01vrai ; c. 0,024 ; d. 0,2. pG(D)=p(G n D) / p(G)=0,002 / 0,2=0,01. 2. La probabilité p(non G ∩ D) est égale à :  a. 0,01 ; b. 0,08 vrai ; c. 0,1 ; d. 0,21 p(D) = 0,8x +0,002=0,082 ; 0,8x = 0,08.  3. La machine est défectueuse. La probabilité qu’elle soit sous garantie est environ égale, à 10−3 près, à : a. 0,01 ; b. 0,024 vrai ; c. 0,082 ; d. 0,1 pD(G)=p(G n D) / p(D)=0,002 / 0,082 ~0,024. Pour les questions 4 et 5, on choisit au hasard et de façon indépendante n machines de l’entreprise, où n désigne un entier naturel non nul. On assimile ce choix à un tirage avec remise, et on désigne par X la variable aléatoire qui associe à chaque lot de n machines le nombre de machines défectueuses dans ce lot. On admet que X suit la loi binomiale de paramètres n et p = 0,082. 4. Dans cette question, on prend n = 50. La valeur de la probabilité p(X > 2), arrondie au millième, est de :  a. 0,136 ; b. 0,789 vrai ; c. 0,864 ; d. 0,924. p(X > 2) =1 -p(X <2)=1-0,2114~0,789.  5. On considère un entier n pour lequel la probabilité que toutes les machines d’un lot de taille n fonctionnent correctement est supérieure à 0,4. La plus grande valeur possible pour n est égale à :  a. 5 ; b. 6 ; c. 10 vrai ; d. 11. p(X=0)=(10 0) x0,0820 x-1-0,082)n = 0,918n. 0,918n > 0,4 ; n ln(0,0918) > ln(0,4) ; n < ln(0,4) / ln(0,918) ;  ln(0,4) / ln(0,918) ~ 10,7 ; n < 10. ... .... Sujet 2. Un jeu vidéo possède une vaste communauté de joueurs en ligne. Avant de débuter une partie, le joueur doit choisir entre deux « mondes » : soit le monde A, soit le monde B. On choisit au hasard un individu dans la communauté des joueurs. Lorsqu’il joue une partie, on admet que :  -la probabilité que le joueur choisisse le monde A est égale à 2 /5 ;  - si le joueur choisit le monde A, la probabilité qu’il gagne la partie est de 7 / 10 ;  - la probabilité que le joueur gagne la partie est de 12 / 25 .  On considère les évènements suivants : A « Le joueur choisit le monde A » ; B : « Le joueur choisit le monde B » ; G : « Le joueur gagne la partie ». 1. La probabilité que le joueur choisisse le monde A et gagne la partie est égale à :  a. 1 /5 ;  b. 3 / 25 ; c. 7 / 25 vrai ; d. 24 / 125. p(A n G)=2 / 5 x 7 / 10 =14 / 50= 7 /25.  2. La probabilité PB(G) de l’événement G sachant que B est réalisé est égale à : a. 1 /5 ; b. 1 /3 ;  c. 7 /25 ; d. 5 / 12. PB(G)=P(B n G) / P(B)=1 / 5 / (3 / 5) = 1 /3. Dans la suite de l’exercice, un joueur effectue 10 parties successives. On assimile cette situation à un tirage aléatoire avec remise. On rappelle que la probabilité de gagner une partie est de 12 / 25. 3. La probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne exactement 6 parties est égale à: a. 0,859 ; b. 0,671; c. 0,188 vrai; d. 0,187. Gagner ou perdre une partie est un schéma de Bernoulli de paramètre p = 12 / 25. On répète 10 fois cette expérience de manière identique et indépendante. La variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 12 / 25. p(X=6)=(10 6) x(12 /25)6 x(13 / 25)4 ~0,188.  4. On considère un entier naturel n pour lequel la probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne au plus n parties est de 0,207. Alors :  a. n = 2; b. n = 3 vrai; c. n = 4; d. n = 5. On cherche p(X < n)~0,188. La calculatrice conduit à n = 3.  5. La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est égale à :  a. 1 − (12 / 25)10; b. (13 / 25)10 ; c. (12 / 25)10 ; d. 1 − (13 / 25)10 vrai. p(X>1)=1-P(X=0)=1-(10 0) x(12 /25)0 x(13 / 25)10 =1-(13 /25)10.

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