Géométrie, Mathématiques, bac général Polynésie 2023. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . . . .. .. ...... ... Sujet 1. L’espace est muni d’un repère orthonormé. On considère : - d1 la droite passant par le point H(2; 3; 0) et de vecteur directeur u de coordonnées ( 1; −1; 1 )  - d2 la droite de représentation paramétrique : { x= 2k − 3  ; y = k ;  z= 5 où k décrit 𝐑.  Le but de cet exercice est de déterminer une représentation paramétrique d’une droite D qui soit perpendiculaire aux droites d1 et d2. 1. a. Déterminer un vecteur directeur, noté v, de la droite d2. Coordonnées de ce vecteur v : (2 ; 1 ; 0), c'est à dire les coefficients de k. b. Démontrer que les droites d1 et d2 ne sont pas parallèles. Les vecteurs directeurs de ces deux droites ne sont pas colinéaires : les droites ne sont pas parallèles.  c. Démontrer que les droites d1 et d2 ne sont pas sécantes. Représentation paramétrique de d1 : x = t+xH = t+2 ; y = -t+yH = -t +3 ; z =t+zH = t. Si il existe un point commun aux deux droites : 2k-3=t+2 soit 2k = t+5 ; -t+3 =k ; par suite : 2(-t+3)=t+5 soit t = 1 /3 et k = 8 /3. Enfin : t = 5, ce qui est faux. Donc les droites ne sont pas sécantes. d. Quelle est la position relative des droites d1 et d2 ? Ces droites ne sont ni sécantes, ni parallèles, elles ne sont pas coplanaires.  2. a. Vérifier que le vecteur w de coordonnées ( −1 ;  2 ;  3 ) est orthogonal aux vecteurs u et v.  b. On considère le plan P passant par le point H et dirigé par les vecteurs u et w. On admet qu’une équation cartésienne de ce plan est : 5x + 4y − z − 22 = 0. Démontrer que l’intersection du plan P et de la droite d2 est le point M(3; 3; 5). M appartient au plan : 5xM + 4yM − zM − 22 = 0. M appartient à la droite d2 : xM= 2k − 3  ; yM = k ;  zM= 5. 5(2k-3)+4k-5-22=0 ; 14 k=42 ; k =3. xM= 2k − 3 =3 ; yM = 3 ;  zM= 5.  3. Soit D la droite de vecteur directeur w passant par le point M. Une représentation paramétrique de D est donc donnée par : { x = −r + 3 ; y = 2r + 3;  z = 3r + 5 où r décrit 𝐑. a. Justifier que les droites D et d1 sont perpendiculaires en un point L dont on déterminera les coordonnées. L appartient à la droite d1 : xL = t+2 ; yL =  -t +3 ; zL  = t. L appartient à la droite D : xL = -r+3 ; yL =  2r +3 ; zL  =3r+5. t+2 = -r+3 soit t=1-r. -t+3 = 2r+3 ; r-1+3=2r+3 soit r = -1 ; par suite t =2. xL = 4 ; yL=1 ; zL =2.  b. Expliquer pourquoi la droite D est solution du problème posé. On a trouvé une droite D perpendiculaire à d1 et d2. ... .... Sujet 2.   L’espace est muni d’un repère orthonormé. On considère : - le point A(1 ; −1 ; −1) ; - le plan P1 d’équation : 5x + 2y + 4z = 17 ;  - le plan P2 d’équation : 10x + 14y + 3z = 19 ; • la droite D de représentation paramétrique : { x = 1 + 2t ;  y = − t ;  𝑧 = 3 − 2t où t décrit R.  1. Justifier que les plans P1 et P2 ne sont pas parallèles. Coordonnées d'un vecteur orthogonal au plan P1 : (5 ; 2 ; 4). Coordonnées d'un vecteur orthogonal au plan P2 : (10 ; 14 ; 3). Ces deux vecteurs n'étant pas colinéaires, les plans ne sont pas parallèles. 2. Démontrer que D est la droite d’intersection de P1 et P2. Si D appartient à P1 : 5(1+2t)+2(-t)+4(3-2t)=17. 0 t +17 =17 est vrai quel que soit t. Donc la droite D appartient à P1. Si D appartient à P2 : 10(1+2t)+14(-t)+3(3-2t)=19. 0 t +19 =19 est vrai quel que soit t. Donc la droite D appartient à P2. 3. a. Vérifier que A n’appartient pas à P1. 5xA + 2yA + 4zA = 5 -2-4 =-1 différent de 17 ; donc A n'appartient pas à P1. b. Justifier que A n’appartient pas à D. Si A appartient à D : xA = 1 + 2t =1 soit t=0 ;  yA = − t =-1 ce qui est faux; donc A n'appartient pas à D.  4. Pour tout réel t, on note M le point de D de coordonnées (1 + 2t ; −t ; 3 − 2t). On considère alors f la fonction qui à tout réel t associe AM2, soit f(t) = AM2.  a. Démontrer que pour tout réel t, on a : f(t) = 9t2− 18t + 17. AM2 =(xM-xA)2 +(yM-yA)2 +(zM-zA)2 =(1+2t-1)2 +(-t+1)2 +(3-2t+1)2 . AM2 =4t2 +t2+1-2t +16 +4t2-16t =9t2-18t+17.  b. Démontrer que la distance AM est minimale lorsque M a pour coordonnées (3 ; −1 ; 1). AM est minimale si f(t) est minimale. f(t) est un polynôme du second degré avec le coefficient a > 0. Donc f(t) admet un minimum en t = -b / (2a) =-(-18  / (2 x9)= 1. Coordonnées du point M : xM = 1+2t = 1+2 = 3 ; yM =-t = -1 ; zM =3-2t = 1.  5. On note H le point de coordonnées (3 ; −1 ; 1). Démontrer que la droite (AH) est perpendiculaire à D. Coordonnées du vecteur AH : (xH-xA =2 ; yH-yA =0 ; zH-zA =2). Coordonnées d'un vecteur directeur de la droite D : (2 ; -1 ; -2). Produit scalaire de ces deux vecteurs : 2*2+0*(-1)+2*(-2) = 0. La droite (AH) est donc perpendiculaire à D.

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