Géométrie, Mathématiques, bac général La Réunion 2023. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . . . .. .. ...... ... Sujet 1. On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous tel que AB = 1. On note M le centre de la face BCGF et N le centre de la face EFGH. 1. Donner sans justifier les coordonnées des points F et C. F( 1 ; 1 ; 1) ; C(0 ; 1 ; 0).  2. Calculer les coordonnées des points M et N. xM =(xC+xG) / 2= (0 +1) / 2 = 0,5. yM =(yC+yB) / 2= (1 +1) / 2 = 1. zM =(zC+zB) / 2= (0 +1) / 2 = 0,5. M(0,5 ; 1 ; 0,5). xN =(xH+xG) / 2= (1 +1) / 2 = 1. yN =(yH+yG) / 2= (0 +1) / 2 = 0,5. zN =(zH+zE) / 2= (0 +1) / 2 = 0,5. N(1 ; 0,5 ; 0,5).  3. a. Démontrer que le vecteur AG est normal au plan (HFC).  b. En déduire une équation cartésienne du plan (HFC). x +y -z +d = 0. H appartient à ce plan : xH +yH -zH +d = 0. 1 +0 -0 +d = 0 ; d = -1. x +y -z-1=0.  4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AG). Coordonnées d'un vecteur directeur de cette droite : (1 ; 1 ; -1). x = t +xA = t ; y = t +yA = t ; z = -t +zA = -t+1 avec t réel.  5. Démontrer que le point R de coordonnées ( 2 /3 ; 2/ 3 ; 1/ 3 ) est le projeté orthogonal du point G sur le plan (HFC). R appartient à la droite (AG) orthogonale au plan ( HFC) : xR = t =2 /3 ; yR = t = 2 /3 ; zR = -2/3+1 = 1 /3. Hypothèse : R appartient au plan (HFC) : xR +yR -zR -1 =2 /3 +2 / 3-1 /3 -1 =0 est vérifié. L'hypothèse est valide.  6. On admet qu’une représentation paramétrique de la droite (FG) est :   x = 1;  y = 1;  z = k (k réel). Démontrer qu’il existe un unique point K sur la droite (FG) tel que le triangle KMN soit rectangle en K. KM2 =(0,5 -1)2 +(1-1)2 +(0,5-k)2=0,25 +0,25 +k2 -k= k2 -k+0,5. KN2 =(1 -1)2 +(0,5-1)2 +(0,5-k)2=0,25 +k2 -k+0,25= k2 -k+0,5. MN2 =(0,5 -1)2 +(0,5-1)2 +(0,5-0,5)2=0,5. Hypothèse : le triangle KMN soit rectangle en K. k2 -k+0,5 + k2 -k+0,5 =0,5. 2k2-2k+0,5 = 0 ; k2-k+0,25 =0 ; (k-0,5)2 =0 ; solution unique k = 0,5. K( 1 ; 1 ; 0,5). 7. Quelle fraction du volume du cube ABCDEFGH le volume du tétraèdre FNKM représente-t-il ? La base est le triangle KNM : aire de ce triangle : KM x KN / 2  ; KM =KN = ( k2 -k+0,5)½ = ( 0,52 -0,5+0,5)½ =0,5. Aire = 0,5 x0,5 / 2 = 0,125. Hauteur du tétraèdre relative  à la base KNM : FK. FK= [(1-1)2 +(1-1)2 +(1-0,5)2]½ =0,5. Volume de ce tétraèdre : aire de base x hauteur / 3 = 0,125 x0,5 /3 = 1/8 x1 /2 x1 /3 = 1 /48. Volume du cube : 1 unité de volume. Le volume du tétraèdre FNKM représente 1/48 éme du volume du cube. ... .... Sujet 2. On se place dans l’espace rapporté à un repère orthonormé. On considère le point A(1; 1; 0) et le vecteur u de coordonnées (0 ; 2 ; -1).  On considère le plan P d’équation : x +4y +2z +1 = 0. 1. On note (d) la droite passant par A et dirigée par le vecteur u . Déterminer une représentation paramétrique de (d). x =xA =1. y = 2t+yA = 2t +1. z = -t+zA = -t avec t réel.  2. Justifier que la droite (d) et le plan P sont sécants en un point B dont les coordonnées sont (1; -1; 1). B appartient à la droite (d) : xB = 1 ; yB =2t+1 ; zB = -t. B appartient au plan P : xB +4yB +2zB +1 = 0. 1 +4(2t+1)-2t+1 = 0. 6t+6 =0 ; t = -1. B( 1 ; -1 ; 1). 3. On considère le point C(1 ; −1 ; −1).  a. Vérifier que les points A, B et C définissent bien un plan. Ces deux vecteurs n'étant pas colinéaires, les points A, B et C définissent bien un plan.  b. Montrer que le vecteur n de coordonnées (1 ; 0 ; 0) est un vecteur normal au plan (ABC). c. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC). x+d = 0. A appartient à ce plan : xA+d=0 ; 1+d=0 ; d =-1. équation cartésienne du plan (ABC) : x-1=0. 4. a. Justifier que le triangle ABC est isocèle en A. AB =[02 +(-2)2 +(1)2]½ =5½. AC =[02 +(-2)2 +(-1)2]½ =5½. AB = AC, le triangle ABC est isocèle en A.  b. Soit H le milieu du segment [BC]. Calculer la longueur AH puis l’aire du triangle ABC. xH=(xB+xC) / 2 =(1+1) /2 = 1 ; yH=(yB+yC) / 2 =(-1+(-1)) /2 = -1 ; zH=(zB+zC) / 2 =(1+(-1)) /2 = 0 ; H(1 ; -1 ; 0). AH =[(1-12 +(-1-1)2 +(0-0)2]½ =2. BC =[(1-1)2 +(-1-(-1))2 +(-1-1)2]½ =2.  Aire du triangle ABC : AH x BC / 2 =2 x2 / 2 = 2 unités d'aire.  5. Soit D le point de coordonnées (0 ; −1 ; 1). a. Montrer que la droite (BD) est une hauteur de la pyramide ABCD. La droite (BD) est orthogonale au plan (ABC). La droite (BD) est une hauteur de la pyramide ABCD.  b. Déduire des questions précédentes le volume de la pyramide ABCD. Base : triangle ABC  ; hauteur relative à ce triangle  BD =1. Volume de la pyramide = aire de base x hauteur / 3 = 2 x1 /3 = 2 /3 unité de volume.

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