Bouteille isotherme avec indicateur de température, poèle à granulés autonome, bac STI2D Réunion 2023.

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Une bouteille isotherme est conçue pour conserver des boissons chaudes ou froides. Une entreprise a développé une bouteille isotherme avec un afficheur de la température de la boisson. À l’issue de la réalisation d’un prototype, les techniciens réalisent une série de tests pour contrôler la qualité du produit. Les deux critères ci-dessous restent à valider pour respecter le cahier des charges de l’entreprise et ainsi passer à la mise en place de la chaîne de production industrielle.
 Critère n°1 : la variation de température d’une boisson doit être inférieure ou égale à 5 °C avec une tolérance de 0,5 °C au bout de 8 heures pour une température extérieure de Text = 20,0 °C.
 Critère n°2 : la variation de la température ne doit pas excéder 1 °C h -1 .
La bouteille isotherme possède une sonde de température sur la face interne du bouchon et un afficheur sur sa face externe. Après avoir rempli et refermé la bouteille, un technicien relève la température indiquée sur l’afficheur de la bouteille pendant une durée totale de 37 heures. La température extérieure est maintenue à 20 °C durant toute l’expérience.
1. À partir des mesures effectuées, indiquer la valeur de la température initiale de la boisson dans la bouteille ainsi que le sens du transfert thermique à travers les parois de la bouteille isotherme.
2. Etablir si l’entreprise va pouvoir commencer la production de cette bouteille isotherme en l’état ou si les ingénieurs doivent encore faire évoluer le produit.

Le transfert thermique s'effectue du corps chaud ( l'air extérieur) vers le corps froid ( le liquide contenu dans la bouteille).
Température atteinte au bout de 8 heures : 9°C soit une élévation de 5°C. ( critère 1 valide)
La pente de la tangente à la courbe est maximale au début et vaut : 4 /6 =0,67 °C / h ( critère 2 valide ) .

Définition du flux thermique : F = S × (qext −q) / R : flux thermique à travers la paroi (en W)
S : surface de la bouteille S = 4,32 x 10-2 m2.
qext : température extérieure (en °C)
q : température de la boisson (en °C)
 R : résistance thermique de la paroi (en m2 K-1W-1 )

3. Justifier l'allure de la courbe en donnant l’évolution du flux thermique au cours du temps.
Le flux thermique diminue, car l'écart de température (qext −q) décroît.
 4. Calculer la résistance R des parois en relevant, sur les deux graphiques, les valeurs du flux thermique et de la température de la boisson à un instant donné.
A t = 10 heures : q =10 °C et F =0,25 W.
R= S × (qext −q) / F = 4,32 10-2 (20-10) / 0,25=1,7 m2 K-1W-1 .
5. En déduire la constitution du matériau séparant les parois de la bouteille.
On réalise le vide entre les deux parois de la bouteille.

On souhaite vérifier le critère n°1 dans le cas d’une boisson chaude.
 L’évolution de la température (en °C ) de la boisson en fonction du temps (en heure) est modélisée par la fonction f solution de l’équation différentielle suivante :
(E) : y ′ = − 0,044y + 0,88 où y est une fonction définie sur R et y’ sa dérivée.
 6. Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).
Solution générale de y' +0,044y=0 : y = A exp(-0,044 t) avec A une constante.
Solution particulière de (E) : y = 0,88 /0,044 = 20.
Solution générale de (E) : y = A exp(-0,044 t) +20.
 7. Sachant que la température initiale de la boisson est de 60°C, montrer que f est définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par
f(t) = 40e −0,044 t + 20.
f '(t) =-40 x0,044 e −0,044 t .
Repport dans (E) : -40 x0,044 e −0,044 t = -0,044 (A e-0,044 t +20) +0,88.
-1,76 e −0,044 t = -0,044 A e-0,044 t -0,88 +0,88.
A = 1,76 / 0,044=40.
8. En déduire la température de la boisson au bout de 8 heures. Indiquer si le critère n°1 est vérifié.
f(8) = 40e −0,044 * 8 + 20 = 48 °C.
Le critère n°1 n'est pas valide.

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 Poèle à granulés autonome.
Un cycle de chauffage se compose de 3 phases :
 Phase 1 4 min. Une vis d’Archimède motorisée apporte les granulés jusqu’au creuset (foyer de combustion). Une résistance électrique chauffe les granulés afin de les enflammer et de démarrer la combustion.
Phase 2 Durée variable. Le poêle chauffe l’habitat par une ventilation à air chaud circulant dans des tubes au-dessus du foyer. La vis d’Archimède motorisée continue à apporter les granulés. Un conduit permet d’apporter l’air extérieur jusqu’au creuset. Un autre ventilateur évacue la fumée. Phase 3 20 min. La vis d’Archimède est arrêtée et n’apporte plus les granulés. La ventilation de la fumée fonctionne toujours. La ventilation de l’air chaud permet de refroidir le poêle.
1. Indiquer la nature (thermique, électrique, mécanique ou lumineuse) de la puissance consommée dans l’indication : « Consommation Min/Max : 50 W / 340 W ».
50 W : puissance électrique ; 340 W : puisance thermique.
2. Recopier et compléter le schéma ci-dessous en y ajoutant un voltmètre et un ampèremètre. Indiquer la position du sélecteur (DC ou AC).

Position AC courant alternatif.
Pour rendre le poêle à granulés complètement autonome, l’alimentation électrique est assurée par une batterie. Cette batterie est rechargée par un panneau photovoltaïque au cours de la journée. À la sortie de la batterie, un dispositif convertit « le 12 VDC en 230 VAC ».
 3. Expliquer ce que signifient ces indications.
Tension continue aux bornes de la batterie : 12 V.
Tension alternative 230 V en sortie du convertisseur.
En plus du voltmètre et de l'ampèremètre, on ajoute un wattmètre afin de mesurer la puissance électrique consommée par le poêle. Les mesures effectuées pour un cycle de fonctionnement sont indiquées ci-dessous.

 durée (min)
 P(W)
 U(V)
 I(A)
phase 1
 4
 335
 234
 1,44
phase 2
 480
 48,1
 234
 2,05
phase 3
 20
 58,0
 234
 1,55
La notice du wattmètre indique une précision de ± 0,5% + 10 digits.
 4. Déterminer la précision D de la mesure de la puissance lors de la phase 1 ainsi que l'incertitude-type : u(P) = D / 3½. Exprimer cette mesure sous la forme P ±u(P) où ce qui suit le ± correspond à l’incertitude-type.
Précision ~ 335 x0,5 /100 ~1,7  ; u(P) =1,7 / 3½ ~ 1.
335 ± 1 W.

5. Calculer le produit U x I lors de la phase 1.
U x I = 234 x1,44 =337 W.
 6. Estimer l’écart entre ce produit et la valeur de 𝑃 en nombre d’incertitudes-types. Conclure et interpréter.
2 incertitude type
7. Indiquer pourquoi le produit U I est très différent de la puissance 𝑃 mesurée lors des deux autres phases.
Phase 1 : une résistance électrique chauffe les granulés afin de les enflammer, ce qui n'est plus le cas dans les phases 2 et 3.
 8. Déterminer l’énergie électrique (en J) consommée pour un cycle de fonctionnement.
(335 x4 +48,1 x480 +58 x20) x60 =1,53 106 J.
9. En déduire la puissance électrique moyenne consommée par le poêle à granulés. Comparer cette valeur aux données du constructeur.
1,53 106 / [(4+480+20)x60]~50 W.

Tension de sortie.
 En réalité, la tension électrique produite par le dispositif en sortie de la batterie n’est pas sinusoïdale.

10. Déterminer la période de la tension visualisée sur l’oscilloscope et en déduire la fréquence (en Hz).
9 carreaux soit 9 x2 10-3 =1,8 10-2 s ; fréquence : 1 / (1,8 10-2) ~56 Hz.
La mesure du spectre se fait à l'aide d'un appareil réalisant la fonction "analyseur de spectre".
Le spectre d’amplitude de la tension à la sortie du dispositif est représenté ci-dessous :

11. Déterminer la fréquence f3 de l’harmonique de rang 3 sachant que la fréquence du fondamental est f1 = 50 Hz.
f3 = 3 f1 = 150 Hz.
Le taux de distorsion harmonique THD est un indicateur de la distorsion d'un signal par rapport à une forme sinusoïdale. Il s‘exprime en %.
THD = (A22 +A32 +A42 +...)½ / A1: amplitude du fondamental ; A2 , A3 , …. : amplitudes des harmoniques. Plus le réseau électrique est « pollué » (THD élevé), plus il y a d’harmoniques et plus cela génère des dysfonctionnements et des échauffements dans les récepteurs et appareillages. La distorsion du signal est ainsi une cause de pertes énergétiques.
 12. Vérifier par un calcul le THD indiqué par l’analyseur de spectre ( 24,1 %)en utilisant le spectre d’amplitude.
THD = (372 +282 +452 +312)½ / 298=0,24 ( 24 %).:
 13. Dans le cas d’un signal purement sinusoïdal, indiquer ce que serait la valeur du THD.
Il n'y a pas d'harmoniques : THD = 0 %.
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