Suites,
Bac Amérique du sud 2023.
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d’intérêts.
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Partie A.
Le but de la partie A est d’étudier le comportement de la suite (un) définie par u0 = 0,3 et par la relation de récurrence, pour tout entier naturel n : un+1 = 2un (1−un) .
Cette relation de récurrence s’écrit un+1 = f (un), où f est la fonction définie sur R par :
f (x) =2x(1−x)= -2x2+2x.
1. Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 0,5].
f '(x) = -4x+2.
Si x appartient à [0 ; 0,5], f '(x) >0 et f(x) est croissante..
2. On admet que pour tout entier naturel n, 0< un < 0,5.
Calculer u1 puis effectuer un raisonnement par récurrence pour démontrer que pour tout rentier naturel n, un < un+1.
u1 = f(u0) = f(0,3) =0,6(1-0,3) =0,42.
Initialisation : u0 < u1 ; la propriété est vraie au rang zéro.
Hérédité : la propriété est supossée vraie au rang n.
un < un+1 < 0,5.
f est strictement croissante sur l’intervalle [0 ; 0,5] : f(un) < f(un+1) < f(0,5) ; f(0,5) = 0,5.
un+1 < un+2. lLa propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire ; elle est donc vraie pour tout n entier naturel.
3. En déduire que la suite (un) est convergente.
La suite un est croissante et majorée par 0,5. Donc elle converge.
4. Justifier que la limite de la suite (un) est égale à 0,5.
La fonction f est continue.
Limite en plus l'infini de f(un) =limite de 2un(1-un).
l = 2 l(1-l) ; -2l2+l=0 ; l(1-2l)=0 ; la seule solution accesptable est l = 0,5.
Partie B.
Le but de cette partie est d’étudier un modèle d’évolution d’une population.
En 2022, cette population compte 3 000 individus.
On note Pn l’effectif en milliers de la population l’année 2022+n. Ainsi P0 = 3.
Selon un modèle inspiré du modèle de Verhulst, mathématicien belge du
XIXe siècle, on considère que, pour tout entier naturel n :
Pn+1 −Pn = Pn (1−b ×Pn), où b est un réel strictement positif.
Le réel b est un facteur de freinage qui permet de tenir compte du
caractère limité des ressources du milieu dans lequel évoluent ces
individus.
1. Dans cette question b =0.
a. Justifier que la suite (Pn) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
Pn+1 −Pn = Pn (1−0)= Pn ; Pn+1 = 2Pn.
La suite (Pn) est une suite géométrique de raison q = 2 et de premier terme P0 = 3..
b. Déterminer la limite de Pn.
Pn = P0 x 2n ; la limite de Pn est plus l'infini.
2. Dans cette question b =0,2.
a. Pour tout entier naturel n, on pose vn = 0,1×Pn.
Calculer v0 montrer que, pour tout entier naturel n, vn+1 = 2vn (1−vn).
v0 = 0,1×P0 = 0,3.
vn+1 = 0,1×Pn+1 =0,1 [Pn + Pn (1−0,2 ×Pn)]=0,1 Pn [ 1+(1−0,2 ×Pn)]=0,1 Pn ( 2−0,2 ×Pn)= 0,2 Pn(1-0,1Pn).
vn+1 =2vn (1-vn).
b. Dans ce modèle, justifier que la population se stabilisera autour d’une valeur que l’on précisera.
La suite (vn) est la suite (un) de la partie A ; la suite (un) et donc la suite (vn) convergent vers 0,5.
Or Pn = 10 vn ; en plus l'infini, la limite de Pn est égale à 5.
La popilation va se rapprocher de 5000 individus.
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Soit la suite (un) définie par u0 = 0 et, pour tout n ∈ N, un+1 = 5un −8n +6.
1. Calculer u1 et u2.
u1 = 5u0 −8*0 +6 =6.
u2 = 5u1 −8*1 +6 =28.
2. Soit n un entier naturel.
Recopier et compléter la fonction suite_u d’argument n ci-dessous,
écrite en langage Python, afin qu’elle retourne la valeur de un.
def suite_u(n) :
u = 0
for i in range(1,n+1) :
u =5*u-8*(i-1)+6
return u
3. a. Démontrer par récurrence que, pour tout n ∈ N, un >2n.
Initialisation : u0 > 0 ; la propriété est vraie au rang zéro.
Hérédité : la propriété est supossée vraie au rang n.
un >2n.
5un >10n.
5un −8n >10n-8n.
5un −8n >2n.
5un −8n+6 >2n+6.
un+1 >2n+6.
un+1 >2(n+1)+4 >2(n+1)
La propriété est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire ; elle est donc vraie pour tout n entier naturel.
b. En déduire la limite de la suite (un).
En plus l'infini, 2n tend vers plus l'infini ; un >2n ; il en est de même de un.
c. Soit p ∈N∗. Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entier n0 tel que, pour tout entier naturel n vérifiant, n >n0, un >10p ?
Pour tout réel A > 0, il existe un rang n0 à partir duquel tous les termes de la suite sont upérieurs à A.
Il existe donc un rang n0 tel que si n > n0, alors un0 > 10p.
4. Démontrer que la suite (un) est croissante.
un+1 -un= 4un −8n +6.
Or un >2n donc 4un −8n > 0 et un+1 -un > 6.
La suite (un) est donc croissante.
5. On considère la suite (vn), définie pour tout n ∈ N, par vn = un −2n +1.
a. En dessous de la fonction suite_u précédente, on a écrit la fonction suite_v ci-dessous :
def suite_v(n):
L = []
for i in range(n+1) :
L.append(suite_u(i) - 2*i + 1)
return L
La commande « L.append »permet de rajouter, en dernière position, un élément dans la liste L.
Lorsqu’on saisit suite_v(5) dans la console, on obtient l’affichage suivant :
>>> suite_v(5)
[1, 5, 25,125 , 625 , 3125]
Conjecturer, pour tout entier naturel n, l’expression de vn+1 en fonction de vn. Démontrer cette conjecture.
On conjecture que vn+1 = 5 vn.
vn+1 = un+1 −2(n+1) +1= un+1 −2n-1= 5un −8n +6−2n-1=5un −10n +5 =5un −5(2n+1) = 5 (un −2n +1) = 5 vn.
La suite (vn) est géométrique de raison 5 et de premier terme v0 =1.
vn = v0 x 5n = 5n.
b. En déduire, pour tout entier naturel n, la forme explicite de un en fonction de n.
vn = un −2n +1.
un =vn +2n-1 =5n+2n-1.
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