Exercice 2 9 points
On considère une fonction f pour laquelle on dispose des informations
suivantes :
f est périodique de période T = 2
p;
f est paire.
f (t )=
p /2 si 0
< t
< p/2.
f(t) =
p−t si
p /2
< t
< p.
1. Tracer la représentation graphique de la
fonction f sur l’intervalle [−2
p ; 2
p].
2. Démontrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on a : b
n
=0.
La fonction étant paire, b
n =0.
3. On note
w la pulsation associée à la fonction f. Déterminer
w.
w = 2
p /T = 2
p / (2
p) = 1.
4. Démontrer que a
0 =3
p/8.
L'intégrale représente l'aire sous la courbe de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 2
p], c'est à dire l'aire de trois carré de côté
p/2.
a0 = 1 / (2
p) x 3 (
p/2)
2 =
3 p/8.
5. Démontrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on a :
6. On admet que l’on a :
a
n =2 /(
pn
2)[cos (n
p/2)-cos(n
p)].
Déterminer les valeurs exactes de a
1, a
2. et a
3.
a1 =2 /p[cos (p/2)-cos(p)] =2 /p.
a2 =2 /(4p)[cos (p)-cos(2p)]=1/(2p) x(-2) = -1/p.
a3 =2 /(9p)[cos (3p/2)-cos(3p)]=2 /(9p).
7. En déduire que s3(t) est égal à :
s3(t) =a0 +a1cos(t) +a2cos(2t)+a3cos(3t), les termes bn étant nuls.
s3(t) = 3p/8 +2/p cos(t) -1/pcos(2t) +2/(9p) cos(3t).
8. Indiquer, sans justifier, quelle est, parmi les trois courbes ci-après, celle qui est associée à la fonction s3.
9. a. On note
P = (a
0)
2 +½[a
12 +a
22+a
32]
Donner une valeur approchée de P à 10
−4.
P = 9
p2/64+0,5[4/
p2+1/
p2+4/(81
p2)] ~1,6437.
b. On note F la valeur efficace de la fonction f .
On admet que F
2 =
p2/6.
On sait que P constitue une approximation de F
2.
On cherche à déterminer le pourcentage d’erreur de cette approximation.
Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte.
Recopier sur la copie la réponse qui vous parait exacte. On ne demande aucune justification.
Le pourcentage d’erreur de cette approximation est égal à :
( F
2 -P) / ( F
2 )=(
p2/6-1,6439) / (
p2/6)~ 7 10
-4 ou 7 10
-2 % =0,07 % ( réponse 0,1 %).