Décharge d'un condensateur dans un autre, concours ENAC 2023. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . . . .. .. ...... ... On considère le montagesuivant dans lequel un générateur est une source idéale de tension E constante, avec R = 1 kW et C0 = 10 nF. Initialement les circuits sont ouverts (interrupteur K en position milieu) et les condensateurs sont déchargés. À l’instant initial, on ferme K en position 1. 1.  Quelle est l’équation différentielle décrivant l’évolution de la charge q0 (t) portée par l’armature de C0 en contact avec K ? Donner la solution de cette équation. Loi des mailles : E = u0 +uR. q0 = C0 u0. uR = R i avec i = dq0 /dt. E = q0 / C0 +R dq0/dt. E / R= q0 / (RC0 )+ dq0/dt (1) . Réponse B. Solution de l'équation sans second membre : q0(t) = A exp(-t / (RC)) avec A une constante. Solution particulière de (1) : q0 =  C0E. Solution générale de (1) : q0(t) = A exp(-t / (RC0))+ C0E. q0(t=0) = 0 = A+C0E ; A = -C0E. q0(t) = -C0E exp(-t / (RC0))+ C0E. q0(t) = C0E (1-exp(-t / (RC0)). Réponse D.  2. Le régime établi (dit aussi permanent) étant atteint, on bascule K en position 2 à un nouvel instant pris comme nouvelle origine temporelle. Quelle est l’équation différentielle vérifiée par q0 ? Loi des mailles : u1 = u0 +uR. q1 = C1u1. q1 / C1= q0 / C0 +R dq0/dt. La charge perdue par C0 est gagnée par C1 : q1(t) = q0(0) - q0(t) = EC0 - q0(t). EC0 / C1- q0(t) / C1= q0 (t)/ C0 +R dq0/dt. R dq0/dt + q0(t) [1/ C0+ 1/ C1]=EC0 / C1. dq0/dt + q0(t) [1/ (RC0)+ 1/ (RC1)]=EC0 /(R C1).  Réponse D.  3. . Quelle est alors, pour t > 0, l’expression de q0 (t) ? On pose t = RC0C1 / (C0+C1). dq0/dt + q0(t) / t=EC0 /(R C1).(2) Solution de l'équation homogène q0(t) = A exp(-t / t). Solution particulière de (2) : q0(t=0) = EC0 t /(RC1) =E C20 /(C0+C1) Solution générale de (2) : q0(t) = A exp(-t / t) +EC20 /(C0+C1). q0(t=0) =EC0 = A+EC20 /(C0+C1). A = EC0 [1-C0  /(C0+C1)]=EC0C1 / (C0+C1). q0(t) = EC0C1 / (C0+C1) exp(-t / t) +EC20 /(C0+C1). q0(t) = EC0 / (C0+C1) [C0+C1exp(-t / t)]. Réponse C.   4. Exprimer la charge q1 (t) portée par l’armature de C1 en contact avec K. q1(t) = q0(0) - q0(t) = EC0 - q0(t). q1(t) =EC0 -EC0 / (C0+C1) [C0+C1exp(-t / t)]. q1(t) =EC0 (C0+C1) / (C0+C1)-EC0 / (C0+C1) [C0+C1exp(-t / t)]. q1(t) =EC0  / (C0+C1)[C0+C1)-C0-C1exp(-t / t)]. q1(t) =EC0 C1 / (C0+C1)[1-exp(-t / t)]. Réponse A. On pose tb = t .   5. Déterminer, au bout d’une durée suffisamment longue (t >>tb ) le rapport r = e1 /e0 entre l’énergie emmagasinée, e1 , par le condensateur 𝐶1 et l’énergie e0 qu’avait emmagasiné le condensateur 𝐶0 juste avant le basculement de 𝐾 en position 2.   e0=0,5  q0(t=0)2 /C0 =0,5 C0E2; e1=0,5  q12 /C1 ; e1(t -->oo)=0,5  [EC0 C1 / (C0+C1)]2 /C1 ;  r =  [EC0 C1 / (C0+C1)]2 / (C0C1E2) r = C0 C1/ (C0+C1)]2 . Réponse B.   6. Le condensateur 𝐶1 est en fait le condensateur équivalent à n condensateurs de même capacité 𝐶0 placés en parallèle. Que devient alors le rapport précédent ? Les capacités des condensateurs montés en parallèle s'ajoutent. C1 = n C0. r = nC02 / ((n+1)C0)]2 =n / (n+1)2. Réponse B. ... ....

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