Déflexion magnétique, concours ENAC 2023.

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Dans un canon de microscope électronique, un électron 𝐴 (masse m , charge électrique −e) est émis, avec une vitesse initiale négligeable, le long d’un axe Ox, par une plaque métallique P1 portée à un potentiel nul. Cet électron est accéléré, dans le vide, grâce à une grille métallique P2 portée à un potentiel constant Va = 100 V . Les plaques P1 et P2 sont habituellement appelées cathode et anode, respectivement

1.
  Quelle est la vitesse v de A lorsqu’il atteint l’anode ?
Le poids de l'électron est négligeable devant la force électrique.
Travail de cette force W = e Va.
Théorème de l'énergie cinétique entre P1 et P2.
½m v2-0 = e Va ; v = (2 e Va / m)½. Réponse B.

 2. Calculer v. On indique les valeurs approximatives des constantes fondamentales suivantes : m~  9 × 10−31 kg et la charge élémentaire e ~ 1,6.10−19 C.
v =(2 x1,6 10-19 x100 / (9 10-31))½ ~6 106 m /s  Réponse C.

 3.  Quelle est la longueur d’onde de De Broglie, l d’un électron de vitesse v ? h ~ 6,63 × 10−34 J. s désigne la constante de Planck
l = h / p = h / (mv)= h / ( 2 e Va / m)½. Réponse A.
l=6,63 10-34 /(9 10-31 x6 106)=1,2 10-10 m ~ 100 10-12 m=100 pm. Réponse C.

  4. Une fois la vitesse v acquise, on s’arrange à la sortie (non représentée sur la figure) du canon pour que l’électron pénètre dans une région où règne seulement un champ magnétique B , stationnaire et uniforme, dont la direction est perpendiculaire à la direction de la vitesse incidente de l’électron. Que dire quant à la trajectoire de l’électron dans cette région ?
 A) L’électron n’est pas dévié et suit donc une trajectoire rectiligne.
B) La trajectoire de l’électron est une parabole.
C) La trajectoire de l’électron est circulaire de rayon proportionnel à B.
 D) La trajectoire de l’électron est circulaire de rayon proportionnel à Va½ / B .

Le mouvement s'effectue dans le plan défini par la vitesse et la force magnétique.
Cette force est centripète ; dans la base de Frenet (suivant l'axe n) la 2ème loi de newton s'écrit :
qv0B = mv20 / R soit R = mv0 / (qB) = Cte.
la trajectoire est un arc de cercle.
v=v0 = (2 e Va / m)½ ; q = e.
R=(2 e Va m)½ / (eB). Réponse D.

5. Lorsque l’électron quitte la région où règne le champ magnétique, que peut-on dire de son vecteur vitesse v et de sa trajectoire (on négligera l’influence du poids).
La force de Lorentz perpendiculaire à la vitesse, ne travaille pas. Le poids est négligé.
L'énergie cinétique, et donc la norme de la vitesse, de l'électron restent constantes. Réponse A.
A la sortie du champ magnétique, aucune force n'agit sur l'électron ; d'après la première loi de Newton, l'électron est animé d'un mouvement rectiligne uniforme. Réponse D.

  6. On s’intéresse à l’angle q, dit de déflexion magnétique, que forme la direction du vecteur vitesse v avec l’axe Ox lorsque A sort de la région du champ magnétique. Cet angle est q = [e /(2mVa)]½BLa, où a est un nombre réel et L une longueur ; précisément, L est la longueur de la trajectoire de l’électron dans la région du champ magnétique. À l’aide d’une analyse dimensionnel, déterminer a.
On pose w =eB / m, pulsation cyclotron ( rad / s).

w L a la dimension d'une vitesse ; wL / v est sans dimension.
Un angle est sans dimension. Donc a = 1.

q = e  m /  v BLa.
 Réponse C.

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