Transformations du diazote, concours ENAC 2023.

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Une quantité de n moles de diazote, gaz supposé parfait, subit, successivement, les transformations thermodynamiques suivantes :
- T1 : une transformation adiabatique réversible de l’état initial Ei (température Ti , pression Pi , volume Vi) à l’état E ′ (température T ′ , pression Pi (1 + e)), volume v' ;
- T2 : une transformation isobare de l’état E ′ à l’état final Ef (température Tf = Ti , pression Pf, volume Vf).
 𝑅 ≈ 8 J. K −1 . mol−1 la constante des gaz parfaits.
1.
  Quelles sont, en fonction de Vi , e et g, les expressions de V ′ et de Vf ?
Transformation T1 : loi de Laplace : Pi Vig = Pi (1+e) V 'g  ;
V ' =Vi /(1+e)1/g =
Vi  (1+e)-1/g . Réponse A.

Transformation T2 :V' / T' = nR / Pf = Vf / Tf = Vf / Ti.

Réponse D.

2.  . Donner l’expression de T ′ en fonction de T ,  e et g,
D'après la question précédente : Réponse B.

 3.  Déterminer le travail (algébrique) WEiE' reçu par le gaz au cours de la transformation T1.
T1 est adiabatique : WEiE' =DUEiE'= n Cv (T '-Ti)=n Cv Ti (T '/Ti -1)
Relation de Mayer : Cp-Cv=nR ; g = Cp / Cv ; Cv = nR / (g-1).

WEiE' = nRTi / (g-1)(T '/Ti -1)=PiVi / (g-1) [(1+e)1-1/g -1].
Réponse C.

  4. Déterminer le travail (algébrique) WEiEf reçu par le gaz au cours de la transformation T2.
La transformation étant isobare : WEiEf  = -Pf (Vf-V') = - Pf Vf [1-V' / Vf] = -Pf Vf [1-T' /Ti].
WEiEf  = - Pi (1+e) Vi / (1+e) [1-(1+e)1-1/g].
WEiEf  = -Pi Vi [1-(1+e)1-1/g]. Réponse C.

5. Après avoir donné l’expression du bilan d’énergie interne DU entre les états Ei et Ef, déterminer la chaleur, ou transfert thermique (algébrique), Q, reçue par le gaz au cours de la série de transformations qui l’amène de Ei à Ef.

Ti = Tf, l'énergie internez d'un gaz parfait ne dépend que de la température : DU = 0. Réponse A.

Q = -WEiE' -WEiEf  = -PiVi / (g-1) [(1+e)1-1/g -1] +Pi Vi [1-(1+e)1-1/g].

Q = Pi Vi [1-(1+e)1-1/g] g / (g-1). Réponse C.

  6. Que deviennent les expressions du travail total W = WEiE' + WEiEf et de Q si e ≪ 1 ?
Développement limité à l'ordre 1 de (1+e)1-1/g ~1+e-e/g.
1-(1+e)1-1/g ~e-e/g = e(1-1/g).
W = -Q =  Pi Vi g / (g-1)[e(1-1/g) ] = Pi Vi e . Réponses B et D.

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