Mathématiques. Concours IESSA  2020.

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Partie 1. s(t) = sinc(pt) =sin(pt) / (pt).
Question 1.
La courbe représentative de s(t) est :
sin(pt) s'annule pour t =  ±1, ±2 ...
La limite en zéro de sin(x) / x = 1.

Question 2.
La transformée de Fourier de s1(t) = sinc(pt) cos(2pt) est donnée par :
La transformée de Fourier de s(t) = sinc(pt) est S(f) =1 si |f| < 0,5 sinon 0.
S1(f) = ½[S(f-1) +S(f+1)]
Réponse D.

Question 3. Le spectre de s1(t) est donné.:

Réponse D.

Question 4. La linéarisation de cos2(2pt) est donnée par : cos2(2pt) = ½(1+cos(4pt)).
Réponse C.

Question 5.
La transformée de Fourier de s2(t) =sinc(pt) cos2(2pt) est donnée par :
S2(f) = ½S(f) +0,25[S(f-2) +S(f+2)]. Réponse B.

Partie II.
 On considère le signal s(t) périodique de période T suivant :

Question 6.
L'expression de s(t) sur [0 ; T/2] est :
s(t) = A sin(2p/T t). Réponse A.

Question 7.
Le calcul de la valeur moyenne de s(t) donne :
. Réponse C.

Question 8.
On suppose que s(t) est décomposable en série de Fourier et que sa série de Fourier s'écrit :

Pour n > 1 :
an =-2A/ [(p(4n2-1)]. Réponse C.

Question 9.
On a : bn =0 pour n > 1 et b1 = A /2.  Réponse D.

Question 10.
On peut montrer que :

Réponse A : 0,5 ; réponse B : A / 2 ; réponse C : 0,5 p(1/p-1/2) est négatif ; réponse D : (p-2) / 4~0,285.
Répondre E.

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 Partie III.
Soit la fonction f définie sur R par f(t) = t exp(-t2).
Question 11.
La fonction f est impaire car f(-t) = -t exp(-t2)= - f(t). Réponse D.

Question 12. Le calcul de la dérivée de f donne :
on pose u = t et v = exp(-t2) ; u' = 1 ; v' = -2t exp(-t2) ;
u'v+v'u =exp(-t2) -2t2 exp(-t2) = (1-2t2) exp(-t2) .
Réponse D.

Question 13.
On peut en déduire que la fonction f est :
exp(-t2) >0 ; f '(t) a le signe de 1-2t2.
Si t appartient à [-2½ /2 ; 2½ /2], f '(t) >0 et f(t) est croissante. Réponse A.
Si t appartient à ]-oo ; -2½ /2 ] union [ -2½ /2 ; +oo[  , f '(t) < 0 et f(t) est décroissante. Réponse D.

Question 14.
Les limites de f aux bornes de l'ensemble de définition sont :
Limite en -oo : exp(-t2) tend vers zéro et f(t) tend vers zéro.
Limite en +oo : exp(-t2) tend vers zéro et f(t) tend vers zéro.
Réponse B.

Question 15
Le calcul suivant donne :

Réponse D.

Question 16
La fonction f est développable en série entière et on a : f(t) =t-t3+x5/2-x7/6+x9/24+ ... +(-1)n t2n+1 / n!.
 Réponse B.

Partie IV.
On considère la matrice A
Question 17
Déterminant de A : 0*2*-4 +4*0*2+2*-8*0- 2*2*2 -0*4*(-4)-0*0*(-8) = -8.
dét(A) diffère de zéro, A est inversible.. Réponse B.

Question 18
La matrice A2 vaut :


Réponse B.

Question 19
En calculant A3+2A2-12A on obtient :

Réponse D.

Question 20
L'inverse de A est alors :

Réponse D.

  
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