Mathématiques, concours ingénieur IESSA  2021. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . . .. .. ...... ... Partie 1. Soit la fonction f périodique de période 2 vérifiant f(x) = x-x3 pour x appartenant à ]-1 ; 1]. Q1. Dans le développement en série de Fourier de f : La fonction est impaire, a0=0, an = 0 avec n > 0.  Réponse C. Q2. Le développement en série de f s'écrit : Première intégration par parties : u' = sin(npx) ; v=x-x3 ; u = -cos(npx) / (np) ; v'= 1-3x2. Seconde intégration par parties : u' = cos(npx) ; v=1-3x2 ; u = sin(npx) / (np) ; v'= -6x. Réponse B. Q3. Soit la fonction f définie sur R/{2} par f(x) =y = (x+3) / (x-2). La fonction f est inversible et sa fonction réciproque g  est définie sur /{a} par : On intervertit x et y : x = (y+3) / (y-2). On isole y : y+3 =xy-2x ; y-xy =-2x-3 ; y = (-2x-3) /(1-x)= (2x+3) / (x-1) avec x différent de 1. Réponse A. Partie II. Soit la fonction h définie sur R par h(x) = (ex-e-x) / (ex+e-x). Q4. La  fonction h admet une application réciproque h-1 définie sur J à valeurs dans I, avec : x =(ey-e-y) / (ey+e-y). x(ey+e-y) =ey-e-y ; ey(x-1) =e-y(-x-1) ; y+ln(x-1)=-y +ln(-x-1). 2y =ln(-x-1) -ln(x-1) =ln[(-x-1) / (x-1)] y =h-1(x)= 0,5 ln[(x+1) / (1-x)]. (x+1) / (1-x) >0 soit x appartenant à J =]-1 ; 1[ et  I = ]-oo ; +oo[.  Répondre E. Q5. La fonction h vérifie : On pose u = ex-e-x et v = ex+e-x ;  u' = ex+e-x et v' = ex-e-x ; h'(x)=(u'v-v'u) / v2 = (ex+e-x )2-(ex-e-x )2] / (ex+e-x )2= 4 / (ex+e-x )2. 1-h(x)2 =1-(ex-e-x)2 / (ex+e-x)2=[(ex+e-x)2-(ex-e-x)2 ] /(ex+e-x)2=4 / (ex+e-x )2. 1-h(x)2 =h'(x). Réponse C. Q6. On en déduit que la fonction h-1 est dérivable sur J et : [h-1] '(x) = 1/ [ h '  h-1(x)]...... Q7. On montre que 1 /(x2-1) =A /(x+1) +B/(x-1) =[Ax-A +Bx+B) / (x2-1). On identifie A+B=0 soit A = -B et B-A = 1 soit B = 0,5. 1 /(x2-1) = -0,5 /(x+1) +0,5/(x-1). Réponse D. Q8.  On en déduit que : h-1(x) = 0,5 ln[(x+1) /(1-x)]. Réponse C. Q9. Dans le cas d'un régime pseudopériodique z'(t) = A exp(-t / t')cos ( W't+f). t' a pour expression : r2 +9 / 2  h  / (ra a2) r +3k/(4praa3) =0. 1/ t'=9 / 4  h  / (ra a2) ; t' = 4 ra a2 / (9h).  . Réponse D. ... .... Partie III. Soit la fonction f définie sur R par f(x) = 1 /(1+x2). Q9. Le développement en série entière de f est : 1-x2+x4 -x6 +...(-1)n x2n.  Réponse D. Q10. Le rayon de convergence de S(x) est : 1/R = |an| / |an+1| =1 ; R = 1. Réponse C. Q11. Le développement de la fonction arctan sur ]-R ; R[ est : x-x3/3+x5 /5 -x7 /7 +... Réponse B. Partie IV. Q12. Le système  2ln(x) +3 ln(y) = -0,5  ; ln(x) -2ln(y) =-2 admet comme solution : 2ln(x) +3 ln(y) = -0,5  ; 2ln(x) -4ln(y) =-4. Soustraire :7 ln(y) =3,5 ; ln(y)=0,5 ; y =e0,5. 2ln(x) +3 ln(e0,5) = -0,5 ; 2ln(x) =-2 ; ln(x) = -1 ; x = e-1. Réponse B. Soit le système : x-y+z=1 -4x+3y-z=2 2x-y+z=2. Q13.  Ce système peut s'écrire : Le nombre de colonne de la première matrice doit être égal au nombre de lignes de la seconde.  Réponse D. Q14. La matrice inverse de A est : Déterminant de A : dét(A)=1 x3x1 +(-4) x(-1)x1 +2x(-1x(-1)-1x3x2-1x(-4)x-1)-1x(-1)x(-1)=3+4+2-6-4-1=-2 Transposition de la matrice ( la première ligne devient la première colonne, la ligne du milieu devient la colonne du milieu, la troisième ligne devient la troisième colonne) Réponse B. Q15. La solution du système est alors : X A = B ; X A A-1=B A-1 ; X = B A-1. . Réponse A. Partie V. On pose tn(x) = cos (n Arc cos(x)) avec x appartenant à [-1 ; +1]. Q16. La fonction Arc cos vérifie : Arc cos(x) est définie sur [-1 ; 1]. Pour a appartenant à [0 ; p], Arc cos ( cos (a)) = a. . Réponses B et D. Q17. La fonction Arc cos est dérivable sur ]-1 ; 1 [ et sa dérivée est : -1 / (1-x2)½. Réponse A. Q18. On montre que : cos(2x) = cos2(x) - sin2(x)= 1-2sin2(x). sin(2x) = 2 cos(x) sin(x). cos(3x) = cos(2x +x) = cos(2x) cos(x) -sin(2x) sin(x). cos(3x) = (cos2(x) - sin2(x)) cos(x) -2 cos(x) sin(x) sin(x)=cos3(x)- sin2(x) cos(x)-2sin2(x) cos(x)=cos3(x)- 3sin2(x) cos(x). cos(3x) = cos3(x)- 3(1-cos2(x))cos(x) = 4cos4(x)- 3cos(x). sin(3x) = sin(2x +x) = sin(2x) cos(x) +cos(2x) sin(x)=2 cos2(x) sin(x)+cos2(x)sin(x) - sin3(x)=3cos2(x) sin(x) - sin3(x). Réponse C. Q19. Un calcul donne : t0(x) =cos (0 *Arc cos(x))=cos (0) = 1. t1(x) =cos (1 *Arc cos(x))= x. t2(x) =cos (2 *Arc cos(x))= cos2(Arc cos(x))-sin2(Arc cos(x))=x2-(1-cos2(Arc cos(x)))=x2-1+x2=2x2-1. t3(x) =cos (3 *Arc cos(x))=cos (2 Arc cos(x) +Arc cos(x)). t3(x) =cos (2 Arc cos(x)) cos ( Arc cos(x)- sin (2 Arc cos(x)) sin ( Arc cos(x)). cos (2 Arc cos(x))= cos2( Arc cos(x)) - sin2( Arc cos(x))=cos2( Arc cos(x)) - 1+cos2( Arc cos(x)) =2x2-1. Arc cos(x)) cos ( Arc cos(x)=2x3-x. sin (2 Arc cos(x))=2 cos( Arc cos(x)) sin( Arc cos(x))=2x sin( Arc cos(x)). sin (2 Arc cos(x)) sin ( Arc cos(x))=2x sin2( Arc cos(x)) cos ( Arc cos(x))=2x (1-cos2( Arc cos(x))=2x(1-x2)=2x-2x3. t3(x) =4x3--3x. Réponse D. Q20. Les solutions de l'équation t3(x)=0 sont : 4x3-3x =x ( 4x2-3) =0 ; x =0 ; 4x2-3 =0 ; x = ±3½/2. réponse C.

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