Mathématiques,
bac Métropole 2024.
En
poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation
de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres
d’intérêts.
.
| . |
.
.
|
|
.
.
|
..
..
......
...
|
Exercice1 .4 points.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque
réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
1. On considère la fonction f définie sur R par : f(x) = 5xe-x.
On note Cf la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
Affirmation 1 :
L’axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe Cf.
Vrai.
Quand x tend vers +oo, e-x tend vers zéro ; 5 x tend vers +oo ; par produit des limites, f(x) tend vers zéro.
Affirmation 2 :
La fonction f est solution sur R de l’équation différentielle (E) : y
′ + y = 5e
−𝑥
.
Vrai.
On dérive f(x) en posant u = 5x, v = e-x ; u' =5 ; v' =-e-x ; u'v+v'u =5e-x-5xe-x = 5e-x(1-x).
Repport dans (E) : 5e-x(1-x)+5xe-x=5e-x est bien vérifié.
2. On considère les suites (un), (vn) et (wn), telles que, pour tout entier naturel n : un ≤ vn ≤ wn.
De plus, la suite (un) converge vers −1 et la suite (wn) converge vers 1.
Affirmation 3 :
La suite (vn) converge vers un nombre réel 𝑙 appartenant à l’intervalle [−1; 1]. Faux.
On suppose de plus que la suite (un) est croissante et que la suite (wn
) est
décroissante.
La suite (vn) est minorée et majorée, mais on ne sait rien sur sa monotonie, rien sur sa convergence.
Affirmation 4 :
Pour tout entier naturel n, on a alors : u0 ≤ vn ≤ w0. Vrai.
(un) est croissante et (wn
) est
décroissante :
u0 < u1 < ... <un < vn < wn < wn-1 <... <w0.
Exercice 2. 5 points.
Une agence de marketing a étudié la satisfaction des clients concernant le service
clientèle à l’occasion de l’achat d’un téléviseur. Ces achats ont été réalisés soit sur
internet, soit dans une chaîne de magasins d’électroménager, soit dans une
enseigne de grandes surfaces.
Les achats sur internet représentent 60 % des ventes, les achats en magasin
d’électroménager 30 % des ventes et ceux en grandes surfaces 10 % des ventes.
Une enquête montre que la proportion des clients satisfaits du service clientèle
est de :
75 % pour les clients sur internet ;
90 % pour les clients en magasin d’électroménager ; 80 % pour les clients en grande surface.
On choisit au hasard un client ayant acheté le modèle de téléviseur concerné.
On définit les événements suivants :
I : « le client a effectué son achat sur internet » ; M : « le
client a effectué son achat en magasin d’électroménager » ; G : « le
client a effectué son achat en grande surface » ; S : « le client est
satisfait du service clientèle ».
1. Reproduire et compléter l’arbre ci-dessous.
2. Calculer la probabilité que le client ait réalisé son
achat sur internet et soit satisfait du service clientèle.
p(I n S) =0,60 x0,75 =0,45.
3. Démontrer que p(S)= 0,8.
Formule des probabilités totales :
p(I n S) + p(M n S) + p(G n S) =0,45 +0,30 x0,90 +0,10 x 0,8) =0,45 +0,27 +0,08 =0,80.
4. Un client est satisfait du service clientèle. Quelle est
la probabilité qu’il ait effectué son achat sur internet ?
On donnera un résultat arrondi à 10−3 près.
p(I n S) / p(S) = 0,45 / 0,80 =0,563.
5. Pour réaliser
l’étude, l’agence doit contacter chaque
jour 30 clients parmi les acheteurs du téléviseur. On
suppose que le nombre de clients est suffisamment
important pour assimiler le choix des 30 clients à un tirage avec
remise. On note X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 30
clients, associe le nombre
de clients satisfaits du service clientèle.
a. Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
On réalise 30 fois de manière indépendante 30 expériences de Bernoulli de paramètres n = 30 ; p = 0,8.
X suit la loi binomiale de paramètres n = 30 , p =0,8.
b. Déterminer la probabilité, arrondie à 10−3 près, qu’au moins 25 clients soient
satisfaits dans un échantillon de 30 clients contactés sur une même journée.
p (X > 25) =1- p(X < 24) = 0,428.
6. En résolvant une inéquation, déterminer la taille minimale de l’échantillon de
clients à contacter pour que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux ne soit pas
satisfait soit supérieure à 0,99.
p(X > n) >0,99 ; 1-0,8n > 0,99 ; 0,8n < 0,01 ; n ln(0,8) < ln(0,01) ; n > ln(0,01) / ln(0,8) ; n > 20,6 soit n > 21.
7. Dans les deux
questions a. et b. qui suivent, on ne s’intéresse qu’aux seuls
achats sur internet.
Lorsqu’une commande de téléviseur est passée par un client, on
considère que le temps de livraison du téléviseur est modélisé par
une variable aléatoire T égale à
la somme de deux variables aléatoires T1 et T2.
La variable aléatoire T1 modélise le nombre entier de jours pour l’acheminement
du téléviseur depuis un entrepôt de stockage vers une plateforme de distribution.
La variable aléatoire T2 modélise le nombre entier de jours pour l’acheminement
du téléviseur depuis cette plateforme jusqu’au domicile du client.
On admet que les variables aléatoires T1 et T2 sont indépendantes, et on donne :
L’espérance E(T1
) = 4 et la variance V(T1
) = 2 ;
L’espérance E(T2
) = 3 et la variance V(T2
) = 1.
a. Déterminer l’espérance E(T) et la variance V(T) de la variable aléatoire T.
E(T) = E(T1) + E(T2) = 4 +3 = 7.
T1 et T2 étant indépendantes, V(T) = V(T1) + V(T2) =2+1 =3.
b. Un client passe une commande de téléviseur sur internet. Justifier que la
probabilité qu’il reçoive son téléviseur entre 5 et 9 jours après sa commande
est supérieure ou égale à 2/
3
.
On cherche p(5 < T < 9)= p(4 < T <10) =p(4-E(T) < T-E(T) < 10-E(T)).
D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : p(5 < T < 9) > 1-V(T) / 32.
p(5 < T < 9) >1-3 / 9 ; p(5 < T < 9) > 2/3.
|
...
|
....
|
Exercie 3. 5 points).
On considère les points A (5 ; 5 ; 0), B (0 ; 5 ; 0 ), C (0 ; 0 ; 10) et D (0 ; 0 ; − 2,5
).
1.
a. Montrer que le vecteur n de coordonnées (
1
;−1; 0
) est un vecteur
normal au plan (CAD).
On montre que ce vecteur n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (CAD).
b. En déduire que le plan (CAD) a pour
équation cartésienne : x-y = 0.
x-y +d = 0 ; A appartient à ce plan : 5-5+d = 0 ; d = 0.
2. On considère la droite D de représentation
paramétrique { x = 2,5t ; y = 5 − 2,5t ; z= 0 } avec t réel.
a. On admet que la droite D et le plan (CAD) sont sécants en un point H. Justifier
que les coordonnées de H sont ( 2,5
; 2,5
; 0).
H appartient à la fois au plan (CAD) et à la droite D :
xH -yH = 0 ; xH = 2,5 t ; yH = 5-2,5 t ; zH = 0.
2,5 t -(5-2,5t) =0 ; 5t = 5 ; t = 1.
H( 2,5 ; 2,5 ; 0).
b. Démontrer que le point H est le projeté orthogonal de B sur le plan (CAD).
On montre qu'un vecteur directeur de la droite D est colinéaire au vecteur n(1 ; -1 ; 0).
3.
a. Démontrer que le triangle ABH est rectangle en H.
AB2=((0-5)2 + (5-5)2+(0-0)2 =25.
AH2=((2,5-5)2 + (2,5-5)2+(0-0)2 =12,5.
BH2=((2,5-0)2 + (2,5-5)2+(0-0)2 =12,5.
AB2=AH2+BH2.
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABH est rectangle en H.
b. En déduire que l’aire du triangle ABH est égale à 25/ 4
.
AH x BH / 2 = 12,5½ x12,5 ½ / 2 =12,5 / 2 = 25 / 4.
4.
a. Démontrer que (CO) est la hauteur du tétraèdre ABCH issue de C.
Les points A, B, H ont une cote nulle ( z = 0) : ils appartiennent au plan horizontal contenant l'origine du repère.
C (0 ; 0 ; 10) appartient à l'axe vertical Oz.
Donc OC est la hauteur du tétraèdre ABCH issue de C.
b. En déduire le volume du tétraèdre ABCH.
OC = 10 ; Volume = aire du triangle ABH x OC / 3 = 25 / 4 x10 / 3 = 125 / 6.
5. On admet que le triangle ABC est rectangle en B. Déduire des questions
précédentes la distance d du point H au plan (ABC).
Le triangle ABC est rectangle en B ; BA2 = 25 ; BA = 5.
BC2 =52+102=125 ; BC = 5*5½.
Aire du triangle ABC : BC * BA / 2 = 25*5½ / 2.
Volume Du tétraèdre ABCH = aire du triangle ABC x d /3.
125 / 6 = 25 *5½ d / 6 ; d = 125 / (25 *5½) = 5½.
Exercice4. 6 points.
Partie A : étude de la fonction f.
La fonction f est définie sur l'intervalle ]0; +∞[ par : f(x) = x
− 2 + 0,5 ln(x). On admet que la fonction f est deux fois
dérivable sur ]0 ; +∞[, on note f ' sa dérivée et f '′ sa dérivée
seconde.
1.
a. Déterminer, en justifiant, les limites de f en 0 et en +∞.
Limite en zéro : x-2 tend vers zéro ; ln(x) tend vers -oo ; par somme des limites, f(x) tend vers -oo.
en +oo : f(x) = x( 1-2 /x+0,5 ln(x) /x).
Par croissance comparée ln(x) / x tend vers zéro ; -2 / x tend vers zéro.
Par somme et produit des limites, f(x) tend vers +oo.
b. Montrer que pour tout x appartenant à ]0 ; +∞[, on a : f '(x) =(2x+1) / (2x).
f '(x) = 1 +0,5 / x = (x+0,5) / x =(2x+1) / (2x).
c. Étudier le sens de variation de f sur ]0 ; +∞[.
Sur cet intervalle, 2x+1 et 2 x sont strictement positifs ; f '(x) est
strictement positive et f(x) est strictement croissante de -oo à +oo.
d. Étudier la convexité de f sur ]0 ; +∞[.
On calcule f ''(x) en posant u = 2x+1 et v = 2x ; u' = 2 ; v' = 2.
(u'v-v'u) / v2 =(4x-4x-2) / (4x2) =-1/(2x2) < 0.
La fonction f est concave sur ]0 ; +oo[.
2.
a. Montrer que l'équation f(x) = 0 admet dans ]0; +∞[ une solution unique qu'on
notera a et justifier que a appartient à l’intervalle [1 ; 2].
Sur cet intervalle, f est continue car dérivable et strictement
croissante de -oo à +oo. D'après le théorème ds valeurs intermédiaires,
il existe un réel unique a tel que f(a) = 0.
Or f(1) = -1 et f(2) = ln(2) / 2 > 0, le même théorème appliqué à l'intervalle [1 ; 2] conduit à a appartient à [1 ; 2].
b. Déterminer le signe de f(x) pour x ∈ ]0 ; +∞[.
f(x) < 0 sur ]0 ; a[ et f(x) > 0 sur ]a ; +oo[ ; f(a) = 0.
c. Montrer que ln(a) = 2(2 − a).
f(a) = a
− 2 + 0,5 ln(a)=0 ; ln(a) = 2(2 − a).
Partie B : étude de la fonction g.
La fonction g est définie sur ]0 ; 1] par g(x)= −
7/
8
x2 + x −
1/
4
x2
ln (x).
On admet que la fonction g est dérivable sur ]0 ; 1] et on note g′ sa fonction dérivée.
1. Calculer g '(x) pour x ∈ ]0 ; 1] puis vérifier que g′(x) = x f(1/x).
Calcul de la dérivée de x2ln(x) en posant u = x2 et v = ln(x) ; u' = 2x ; v' = 1 /x ; u'v+v'u =2x ln(x) +x.
g '(x) = -7 / 4 x+1-0,5 x ln(x) -x / 4 =-2x+1-0,5 x ln(x) =x (-2+1/x-0,5 ln(x).
f(x) = x
− 2 + 0,5 ln(x) ; f(1/x) =1/x -2-0,5 ln(1/x).
g '(x) = x f(1/x).
2.
a. Justifier que pour x appartenant à l’intervalle ]0 ;
1 / a
[, on a f (
1
/ x) > 0.
Pour 0 < x < a, f(x) < 0.
On prend l'inverse de ces nombres positifs : 1 /a < 1/x soit f(1/x) >0.
b. On admet le tableau de signes suivant :
En déduire le tableau de variations de g sur l’intervalle ]0 ; 1].
Sur ]0 ; 1 /a[
, x est positif et f(1/x) est positif : par produit x f(1/x) =
g'(x) est positif et g(x) est croissante sur cet intervalle et g(x) est
croissante.
Sur ]1 /a ; 1[, g'(x) < 0 et gest décroissante sur cet intervalle.
g'(1/a) = 0; g(1/a) est un maximum de g sur cet intervalle.
Partie C : un calcul d’aire.
On a représenté sur le graphique ci-dessous : - La courbe Cg de la fonction g ; - La parabole P d’équation 𝑦 = −
7/ 8 x2 + x sur l’intervalle ]0 ; 1].
On souhaite calculer l’aire A du domaine hachuré compris entre les courbes Cg et P,
et les droites d’équations x =
1 / a
et 𝑥 = 1.
1.
a. Justifier la position relative des courbes Cg et P sur l’intervalle ]0 ; 1].
Sur ]0 ; 1], ln(x) < 0, x2 >0 :-1/4 x2 ln(x) > 0.
Sur ]0 ; 1], -7 / 8 x2 +x < -7/8 x2+x-x2/4 ln(x). l'arc de parabole est donc en dessous de la représentation graphique de g.
b. Démontrer l’égalité :
Intégration par parties de x2 ln(x) en posant :
u(x) = ln(x) v'(x) = x2 ; u'(x) = 1 /x , v(x) = x3 / 3.
.
2. En déduire l’expression en fonction de a de l’aire A.
A = (a3+6a-13) / (36a3)~0,07.
|
ane.
|
|
|