mathématiques, bac Métropole 2024

Exercice 1 .5 points.
La directrice d’une école souhaite réaliser une étude auprès des étudiants qui ont passé l’examen de fin d’étude, pour analyser la façon dont ils pensent avoir réussi cet examen. Pour cette étude, on demande aux étudiants à l’issue de l’examen de répondre individuellement à la question : « Pensez-vous avoir réussi l’examen ? ». Seules les réponses « oui » ou « non » sont possibles, et on observe que 91,7 % des étudiants interrogés ont répondu « oui ». Suite à la publication des résultats à l’examen, on découvre que :
- 65 % des étudiants ayant échoué ont répondu « non » ;
- 98 % des étudiants ayant réussi ont répondu « oui ».
On interroge au hasard un étudiant qui a passé l’examen. On note R l’événement « l’étudiant a réussi l’examen » et Q l’événement « l’étudiant a répondu « oui » à la question ».
. Dans tout l’exercice, les probabilités sont, si besoin, arrondies à 10^-3 près.
1. Préciser les valeurs des probabilités P(Q) et P_{non R}(non Q).
P(Q) =0,917.
Probabilité que le candidat interrogé ait répondu "non" sachant qu'il a échoué : P_non _R(non Q) =0,65.
2. On note x la probabilité que l’étudiant interrogé ait réussi l’examen.
a. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.

b. Montrer que 𝑥 = 0,9.
0,917 = 0,98 x +0,35(1-x) ; 0,917 = 0,98x -0,35x +0,35.
0,917-0,35 =0,63 x ; x = 0,567 / 0,63 =0,9.
3. L’étudiant interrogé a répondu « oui » à la question. Quelle est la probabilité qu’il ait réussi l’examen ?
P_Q(R) = P(Q n R) / P(Q) =0,9 x0,98 / 0,917 =0,962.
4. La note obtenue par un étudiant interrogé au hasard est un nombre entier entre 0 et 20. On suppose qu’elle est modélisée par une variable aléatoire N qui suit la loi binomiale de paramètres (20 ; 0,615). La directrice souhaite attribuer une récompense aux étudiants ayant obtenu les meilleurs résultats. À partir de quelle note doit-elle attribuer les récompenses pour que 65 % des étudiants soient récompensés ?
P(N > 11) ~0,797 ; P(N > 12) ~0,649.
A partir de 12, la directrice récompense 65 % d'entre eux.
5. On interroge au hasard dix étudiants. Les variables aléatoires N₁, N₂, … , N₁₀ modélisent la note sur 20 obtenue à l’examen par chacun d’entre eux. On admet que ces variables sont indépendantes et suivent la même loi binomiale de paramètres (20 ; 0,615).
Soit S la variable définie par S = N₁₊ N₂₊ … + N₁₀
Calculer l’espérance E(S) et la variance V(S) de la variable aléatoire S.
E(N_i) =20 x0,615=12,3.
V(N_i) = 20 x0,615 x(1-0,615)=4,7355.
E(S) = E(N₁) +...+E(N₁₀) =12,3 +... +12,3 = 123.
Les variables aléatoires étant indépendantes : V(S) = V(N₁) +...+V(N₁₀) =10 x4,7355 =47,355.
6. On considère la variable aléatoire M = S / 10 .
a. Que modélise cette variable aléatoire M dans le contexte de l’exercice ?
M représente la moyenne des notes obtenues par un échantillon de 10 étudiants choisis au hasard.
b. Justifier que E(M) = 12,3 et V(M) = 0,47355.
E(M) = E(S) / 10 =126 / 10 = 12,3.
V(M) =V(S) / 10² = 0,47355.
c. À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, justifier l’affirmation ci-dessous.
« La probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre 10,3 et 14,3 est d’au moins 80 % ».
L'intervalle [10,3 ; 14,3] est centré sur l'espérance de M. On cherche la probabilité de l'événement A = { M-E(M) < 2}.
L'évnement contraire est non A = {|M-E(M)| > 2}.
P{|M-E(M)| > 2} < V(M) / 2² ; P{|M-E(M)| > 2} < 0,47355 / 4.
P{|M-E(M)| > 2} < 0,1183875.
P{|M-E(M)| < 2} > 1-0,1183875.
P{|M-E(M)| < 2} > 0,8816.
L'affirmation est correcte.

Exercice 2. 5 points.
Les parties A et B sont indépendantes.
Alain possède une piscine qui contient 50 m³ d’eau. Pour désinfecter l’eau, il doit ajouter du chlore. Le taux de chlore dans l’eau, exprimé en mg. L⁻¹ , est défini comme la masse de chlore par unité de volume d’eau. Les piscinistes préconisent un taux de chlore compris entre 1 et 3 mg. L⁻¹ . Sous l’action du milieu ambiant, notamment des ultraviolets, le chlore se décompose et disparaît peu à peu. Alain réalise certains jours, à heure fixe, des mesures avec un appareil qui permet une précision à 0,01 mg. L⁻¹ . Le mercredi 19 juin, il mesure un taux de chlore de 0,70 mg. L⁻¹ .
Partie A : étude d’un modèle discret.
Pour maintenir le taux de chlore dans sa piscine, Alain décide, à partir du jeudi 20 juin, d’ajouter chaque jour une quantité de 15 g de chlore. On admet que ce chlore se mélange uniformément dans l’eau de la piscine.
1. Justifier que cet ajout de chlore fait augmenter le taux de 0,3 mg. L⁻¹ .
15 / (50 10³)=3 10^-4 g / L=0,3 mg / L.
2. Pour tout entier naturel 𝑛, on note v_n le taux de chlore, en mg. L⁻¹, obtenu avec ce nouveau protocole n jours après le mercredi 19 juin. Ainsi v₀ = 0,7. On admet que pour tout entier naturel n, v_n+1 = 0,92v_n + 0,3.
a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, v_n ≤ v_n+1 ≤ 4.
v₁ =0,92 x 0,7 +0,3 =0,944.
Initialisation : la propriété est vraie au rang zéro.
Hérédité : v_n ≤ v_n+1 ≤ 4.est supposé vrai.
0,92 v_n ≤ 0,92 v_n+1 ≤ 0,92 x4 =3,68.
0,92 v_n +0,3 ≤ 0,92 v_n+1 +0,3 ≤ 3,68+0,3=3,98.
. v_n+1 ≤ v_n+2 ≤ 4. La propriété est vraie aurang n+1.
Conclusion : la propriété est vraie au rang zéro et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n.
b. Montrer que la suite (v_n) est convergente et calculer sa limite.
La suite est croissante et bornée par 4, donc elle converge.
A la limite : l = 0,92 l+0,3 ; 0,08 l = 0,3 ; l = 3,75.

3. À long terme, le taux de chlore sera-t-il conforme à la préconisation des piscinistes ? Justifier la réponse.
3,75 n'appartient pas à l'intervalle [1 ; 3]. Le taaux de chlore ne sera pas conforme.
4. Reproduire et compléter l’algorithme écrit en langage Python pour que la fonction alerte_chlore renvoie, lorsqu’il existe, le plus petit entier n tel que v_n > s.
def alerte_chlore(s)
n=0
u=0.7
while u <=s
n=n+1
u =0.92*u+0.3
return n
5. Quelle valeur obtient-on en saisissant l’instruction alerte_chlore(3) ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
v₁₆ =2,96 ; v₁₇ =3,01 > 3. Le programme renvoie 17.
17 jours après le 19 juin, le taux de chlore sera trop élevé.

Partie B : étude d’un modèle continu.
Alain décide de faire appel à un bureau d’études spécialisées. Celui-ci utilise un modèle continu pour décrire le taux de chlore dans la piscine. Dans ce modèle, pour une durée x (en jours écoulés à compter du mercredi 19 juin), f(x) représente le taux de chlore, en mg. L⁻¹, dans la piscine. On admet que la fonction f est solution de l’équation différentielle (E) ∶ y′ = −0,08y + q/ 50, où q est la quantité de chlore, en gramme, rajoutée dans la piscine chaque jour.
1. Justifier que la fonction f est de la forme f(x) = Cexp(−0,08x) + q/ 4 où C est une constante réelle.
Solution générale de y'+0,08y = 0 : y = C exp(-0,08x) avec C une constante réelle.
Solution particulière de (E) : y =q /(50 x0,08) =q / 4.
Solution générale de (E) : f(x) = C exp(-0,08x) + q /4.
2. a. Exprimer en fonction de q la limite de f en +∞.
En +oo le terme en exponentielle tend vers zéro et f(x) tend vers q / 4.
b. On rappelle que le taux de chlore observé le mercredi 19 juin est égal à 0,7 mg. L⁻¹ . On souhaite que le taux de chlore se stabilise à long terme autour de 2 mg. L⁻¹. Déterminer les valeurs de C et q afin que ces deux conditions soient respectées.
2 = q / 4 soit q = 8.
A t =0 : 0,7 = C+q / 4 = C +2 ; C = -1,3.