Concert musical,cobalt 60 en médecine, bac STI2D Métropole 2024.

Lors d’un concert de musique rock organisé dans la ville de Venise, une scène flottante était placée à 120 m au large de la côte et donc des spectateurs du premier rang. Cette configuration particulière a posé des problèmes d’acoustique liés à l’atténuation différentielle du son émis par les différents instruments, notamment du fait de l’influence de la fréquence du son sur la directivité de l’émission par les haut-parleurs. L’exercice propose de modéliser cette situation à partir de données expérimentales.
Sonorisation du concert
Pour étalonner le système d’amplification des sons, on choisit deux notes de fréquences distinctes émises par la guitare, notées note 1 et note 2, et on étudie les signaux correspondants.

Q1. Déterminer la fréquence du signal représenté sur la figure 1 et indiquer la note de musique correspondante.
T = 5,8 / 4 =1,45 ms ; f = 1 /(1,45 10^-3) ~690 Hz (Fa4)
Q2. Indiquer, en justifiant votre réponse, si le son dont le spectre en fréquence est représenté sur la figure 2 est pur.
Le son n'est pas pur : il existe 3 harmoniques.
Q3. Identifier la note 2 associée au son dont le spectre en fréquence est représenté sur la figure 2.
Fréquence du fondamental f = 110 Hz (La1).
Lors du concert, le niveau sonore mesuré au niveau des spectateurs les plus proches de la scène était de 100 dB.
Les normes relatives à la prévention des risques liés au bruit en vigueur lors du concert fixaient une intensité acoustique maximale de valeur I_max = 3,1 10^-2 W·m^-2.
Q4. Vérifier si le niveau sonore mesuré lors du concert respectait cette norme.
I = I₀ * 10^{0,1 L} = 10^-12 *10¹⁰ =0,01 W m^-2 < I_max. La norme est respectée..
Étude expérimentale
Pour étudier la variation du niveau sonore du signal lors de sa propagation, on mesure celui-ci à l’aide d’un sonomètre, placé à différentes distances de la source dans une direction donnée.
Un générateur connecté aux enceintes permet d’émettre deux notes distinctes : un La1 puis un Fa4.
On détermine ensuite des modèles numériques (valables pour une distance supérieure à 1 m), donnant les niveaux sonores de chaque note en fonction de la distance.
Sur la base de ces modèles, on obtient les expressions suivantes :
- pour le La1 : L₁ = 125 – 10 ln(d) ;
- pour le Fa4 : L₂ = 117 – 7,5 ln(d) ,
où d est exprimé en m, L₁ et L₂ sont exprimés en dB et ln désigne le logarithme népérien.
On étudie mathématiquement le modèle obtenu en introduisant les fonctions f et g définies sur [ 1 ; +∞ [ par :
f(x) = 125 – 10 ln(x) et g(x) = 117 – 7,5 ln(x) .
Ces fonctions modélisent respectivement les niveaux sonores du La1 et du Fa4 en fonction de la distance.
Q5. Déterminer une expression de f ’(x) où f ’ est la fonction dérivée de f sur [ 1 ; +∞ [.
f '(x) = -10 / x.
On modifie désormais les réglages d’émission pour améliorer la qualité du son. Les expressions des nouvelles fonctions décrivant la dépendance de L₁ et L₂ avec la distance sont alors :
f_m(x) = 148 – 10 ln(x) et g_m(x) = 136 – 7,5 ln(x) , respectivement, pour les notes La1 et Fa4.
Q6. Résoudre l'équation f_m(x) = g_m(x) correspondant à 148 – 10 ln(x) = 136 – 7,5 ln(x)
(arrondir le résultat à 10^-1).
En déduire la distance d_m des enceintes à laquelle doit se trouver le public pour que les deux notes aient le même niveau sonore.
148-136 =10 ln(x) -7,5 ln(x) = 2,5 ln(x) ; ln(x) = 12 /2,5 =4,8 ; x = e^4,8 ~121,5.
d = 121,5 m.
Q7. Pour les réglages modifiés, calculer le niveau sonore du son reçu par les spectateurs à la distance d_m des enceintes pour chacune des notes.
L₁= 148 - 10 ln(121,5) =100 dB.
L2= 136 - 7,5 ln(121,5) =100 dB.