Pentaoxyde de diazote, vitesse de sédimentation d'une hématie, éthylotest, mathématiques, bac STL Métropole 09 / 2024.

Exercice 1 : (5 points)
Le pentaoxyde de diazote
Le pentaoxyde de diazote N₂O₅ est un puissant oxydant utilisé en synthèse organique. Il possède comme particularité d'être un (NOx) solide à température ambiante. Sa manipulation requiert un soin tout particulier puisqu'à température ambiante, il peut se décomposer selon la transformation modélisée par la réaction d'équation :
N₂O₅ -->2 NO₂ +½ O₂.
On se propose d'étudier la cinétique de cette réaction.
On introduit initialement, dans un réacteur de volume V égal à 1,0 L, une masse m égale à 4,4 g de pentaoxyde de diazote.
1. Montrer que la concentration en quantité de matière en N₂O₅ à l'instant initial dans le réacteur est [N₂O₅]₀ = 41 mmol L^-1.
M(N₂O₅)=14 x 2 +5 x 16=108 g / mol.
n = m / M(N₂O₅)=4,4 / 108~0,041 mol = 41 mmol dans 1 L.
On note t le temps écoulé à partir de l'introduction de la masse m. On effectue six mesures expérimentales de la concentration de pentaoxyde de diazote dans le réacteur, notée [N₂O₅]_t, pour t = 0 min, t = 4 min, t = 8 min, t = 16 min, t = 28 min et t = 44 min. On souhaite modéliser l'évolution de la concentration de pentaoxyde de
diazote NzOs par une fonction f donnant la concentration de pentaoxyde de diazote dans le réacteur, exprimée en millimoles par litre, en fonction du temps exprimé en minutes.

Pour une réaction d'ordre 0, on rappelle que la vitesse volumique de disparition est constante au cours du temps.
2. Justifier qu'on peut écarter l'hypothèse d'une cinétique d'ordre 0 par rapport au réactif pentaoxyde de diazote.
Les points ne sont pas alignés.
On fait l'hypothèse que la réaction suit une cinétique d'ordre 1 par rapport au réactif pentaoxyde de diazote, c'est-à-dire que la vitesse volumique de disparition du réactif vérifie la loi v_disp = k x [N₂O₅]_t où k est la constante de vitesse.
En conséquence, on admet que la fonction f est solution de l'équation différentielle du premier ordre suivante:
y' + k y = 0
3. Vérifier que la fonction f définie sur l'intervalle [0; 44] par f(t) = 41 e^-kt est la solution de l'équation différentielle qui vérifie la condition initiale f(0) = 41.
f '(t) = -41 k e^-kt; repport dans l'équation :
-41 exp(-kt) +41 exp(-kt)=0 est bien vérifié.
f(0) = 41 exp(0) = 41.
4. Montrer que In(f(t)) = -kt + In( 41).
ln(f(t)) = ln(41) + ln(exp(-kt)) = ln(41) -kt.
On a représenté le logarithme népérien de la concentration de pentaoxyde de diazote obtenue dans l'expérience pour t = 0 min, t = 4 min, t = 8 min, t = 16 min, t = 28 min et t = 44 min. La droite tracée approxime les points.
5. Justifier que l'hypothèse d'une cinétique d'ordre 1 par rapport au réactif pentaoxyde de diazote est compatible avec les données expérimentales.
6. Déterminer le coefficient directeur de la droite tracée.

La droite passe par les points expérimentaux : la cinétique d'ordre 1 est donc valide.
Coefficient directeur de cette droite : -2,5 / 40 ~ -0,063 min^-1.
7. En déduire que la valeur de la constante de vitesse k est environ égale à 0,063 min^-1.
-k = -0,063 ; k =0,063 min^-1.
8. Calculer la valeur de ln ([N₂O₅]₀ /2) puis résoudre graphiquement l'équation f(t) = 20,5 .
ln ([N₂O₅]₀ /2) = ln(20,5) =3,02.

9. Grâce à l'expression f(t) =[N₂O₅]_t = [N₂O₅]₀ x e^-kt, montrer que le temps de demi-réaction t½ s'exprime par la relation:
t _½ = ln(2) / k.
[N₂O₅]_t½ =½ [N₂O₅]₀ =[N₂O₅]₀ exp(-kt_½).
0,5 =exp(-kt_½) ; ln (0,5) = - ln(2) = -kt_½ ; t _½ = ln(2) / k.
10. Calculer la valeur numérique du temps de demi-réaction t_½.
t _½ = ln(2) / 0,063~ 11 min..
11. Comparer les résultats des questions 8 et 10.
A 10 % près les deux résultats sont en accord.

Exercice 2 :(6 points)
Vitesse de sédimentation d'une hématie
La détermination de la vitesse de sédimentation d'une hématie (globule rouge) est un test couramment réalisé au laboratoire d'analyses biologiques pour surveiller l'état inflammatoire d'un patient.
Une des méthodes utilisées est la méthode de Westergreen. Elle consiste, dans un premier temps, en la réalisation d'un mélange constitué de sang issu du prélèvement réalisé sur le patient avec un anticoagulant puis, dans un second temps, en son introduction dans un long tube vertical gradué. Le biologiste dépose alors le tube verticalement sur son support et laisse « décanter» le mélange. En effet, les hématies sédimentent, c'est-à-dire qu'elles descendent au fond du tube tandis que le haut du tube est constitué du plasma sanguin. Au bout d'une durée t le biologiste mesure la hauteur de la colonne de plasma sanguin dépourvue d'hématies.
L'objectif de cet exercice est de déterminer un ordre de grandeur de la « durée caractéristique» nécessaire à ce protocole.
On modélise la chute d'une hématie dans le plasma sanguin par le mouvement rectiligne d'un point matériel noté G selon un axe (0, k) vertical dirigé vers le bas, avec k un vecteur unitaire. La norme de la vitesse instantanée v(t) est donc égale à
celle de la coordonnée du vecteur vitesse selon l'axe (0, k) à l'instant t. Le point matériel G est notamment soumis à une force de frottement fluide, notée f, et à la poussée d'Archimède P_A due au plasma sanguin. L'étude est menée jusqu'à la
question 8 dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
Données:
- masse volumique d'une hématie: μ_H = 1300 kg· m^-3;
- masse volumique du plasma sanguin: μ_p = 1060 kg· m^-3 ;
- rayon d'une hématie assimilée à une sphère: r = 2,0 x 10^-6 m ;
- intensité de la pesanteur terrestre: g = 9,8 m . s^-2;
coefficient de frottement: k = 4,9 X 10^-8 kg. s^-1.
Relations:
- volume d'une sphère: V = 4/3 pr³ ;
- expression de la force de frottement fluide qui s'exerce sur une hématie: f = -k x v avec v la vitesse instantanée de chute de l'hématie;
- expression de la poussée d'Archimède P_A qui agit sur une hématie:
F_A = 4/3 pr³ μ_p x g
1. Préciser la troisième force qui, en plus de f et P_A s'exerce sur le point matériel G et est à l'origine de sa chute..
Le poids de l'hématie.
2. Appliquer la seconde loi de Newton au point matériel G de masse m afin de déterminer la relation entre son accélération ai et les trois vecteurs forces s'appliquant sur lui.
Selon un axe vertical orienté vers le bas : ma = mg-kv -F_A.
Dans la suite de l'exercice, on considère le régime permanent établi: la norme de la vitesse instantanée v(t) du point matériel G est supposée avoir atteint une valeur V_lirnconstante appelée vitesse limite.
3. Simplifier la relation écrite à la question 2 sans chercher à expliciter les trois vecteurs forces.
A vitesse constante, l'accélération est nulle.
mg-kv -F_A =0.
4. Donner les coordonnées de chaque force selon l'axe (0, k) vertical dirigé vers le bas.
P = mg ; f = k v_lim ; F_A = 4/3 pr³ μ_p x g
5. Sans souci d'échelle, représenter, sur un schéma clairement légendé, les trois forces modélisant les actions mécaniques s'exerçant sur une hématie modélisée par un point matériel noté G.

Un calcul non demandé permet de déduire l'expression de la vitesse limite Vl_irn de ce qui précède:
v_lim = 4 p r³ g(µ_H-µ_P) / (3k).
6. Calculer la valeur de la vitesse limite en exprimant le résultat avec deux chiffres significatifs et dans l'unité du système international. L'application numérique devra être posée.
v_lim = 4 x3,14 x(2,0 10^-6)³ x9,8 (1300-1060) / (3 x4,9 10^-8) =1,6 10^-6 m s^-1.
On prend pour la suite la valeur approchée V_lirn = 2 10^-6 m s^-1.
7. Déterminer la distance parcourue par une hématie ayant atteint cette vitesse limite pour une durée de 1 h.
2 10^-6x 3600=7,2 10^-3 m =7,2 mm.
On considère qu'une distance parcourue par les hématies de l'ordre de 5 mm en fin de sédimentation permet une mesure avec une incertitude minimale.
8. Conclure quant à la pertinence d'une durée d'examen d'une heure.
7,2 mm est du même ordre de grandeur que 5 mm : la durée d'une heure est donc pertinente.
Pour diminuer la durée d'examen, il est possible d'utiliser une « ultracentrifugation ».
Dans ce cas, l'expression de la norme de la vitesse limite devient dans le référentiel d'étude:
v_lim = 4 p r³ a(µ_H-µ_P) / (3k).
où a représente la norme de l'accélération à laquelle est soumis l'échantillon placé dans la centrifugeuse. On précise qu'une centrifugeuse est un appareil avec lequel le technicien peut soumettre l'échantillon à de grandes valeurs d'accélération.
9. Expliquer l'intérêt d'une accélération de norme la plus grande possible.
La vitesse limite est plus importante et la durée de l'examen plus faible.