Mathématiques. Concours contrôleur des douanes 2023.

Exercice 1.
On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f (x) = e^x −ln(x).
1. Étudier les variations de la fonction g définie sur R par g(x) = xe^x −1.
Dérivée de x e^x en posant u = x et v = e^x ; u'=1 ; v' = e^x.
g'(x)=u'v+v'u = e^x+xe^x=e^x(x+1) >0 sur ]-1; +∞[. g(x) est strictement croissante sur cet intervalle.
g'(x) < 0 sur ]-oo ; -1( , g'x) est strictement décroissante sur cet intervalle.
g'(x) =0 si x = -1 ; g(x) adment un minimum en x = -1.
g(-1) = -e^-1 ~-1,467.
Limite en moins l'infini : e^xtend vers zéro et g(x) tend vers -1.
Limite en plus l'infini : e^xtend vers +oo et g(x) tend vers +oo.
2. En déduire qu’il existe un réel unique a tel que ae^a=1.
Sur l'intervalle ]-1 ; +oo[, g(x) est continue car dérivable et croît strictement de -1,467 à +oo.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe a appartenant à ]-1 ; +oo[ unique tel que g(a) = 1.
On admet que 0,567 < a < 0,568.
3. Étudier le signe de g(x) sur ]0 ; +∞[.
g(a) = 0 ; g(x) < 0 sur ]0 ; a ] et g(x) > 0 sur ]a ; +oo[.
4. Calculer la fonction dérivée f ′ de f et étudier son signe sur ]0 ; +∞[.
f '(x) = e^x-1/x =( xe^x-1) / x = g(x) / x.
x est positif sur ]0 ; +∞[. Le signe de f '(x) est celui de g(x).
g(x) < 0 sur ]0 ; a ] et g(x) > 0 sur ]a ; +oo[.
5. En déduire les variations de f ]0 ; +∞[.
Sur ]0 ; a ], f(x) est décroissante ; sur ]a ; +oo[ f(x) est croissante.
f(x) admet un minimum en x = a.
6. Montrer que f admet un minimumm égal à a+a^-1.
f(a) = e^a-ln(a).
Or g(a) = 0 ;ae^a=1 ; f(a) = 1/ a-ln(1/e^a) = 1/ a+ln(e^a)= a+a^-1.

Exercice 2
Partie A
Soit a et b deux réels tels que a < b et f et g deux fonctions continues sur l’intervalle [a ; b].
Montrer que : si pour tout t appartenant à [a ; b], f(t) < g(t) alors

f(t) < g(t) est équivalent à g(t) -f(t) > 0.
D'après la positivité de l'intégrale :

Partie B
Soit n un entier naturel non nul. On appelle f_n la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f_n(x) = ln(1+xⁿ) et on pose

On note C_nla courbe représentative de f_n dans un repère orthonormal.
1. a. Déterminer la limite de f₁ en +oo.
f₁x) = ln(1+x)
En +oo, ln(1+x) tend vers +oo.
b. Étudier les variations de f₁ sur [0 ; +∞[.
f '₁(x) = 1 / (1+x) >0 sur [0 ; +oo[.
f₁(x) est strictement croissante de ln(1)=0 à +oo.
c. À l’aide d’une intégration par parties, calculer I₁ et interpréter graphiquement le résultat.
Pour le calcul de I₁ on pourra utiliser le résultat suivant :
pour tout x ∈ [0 ; 1], x /(x+1) = 1-1/(x+1).
On pose u = ln(1+x) ; dv =dx ; u' = 1/(1+x) ; v = x.

2. a. Montrer que pour tout entier naturel non nul n , on a :0 < I_n < ln(2).
0 < x < 1 ; 0 < xⁿ < 1 ; 1 < 1+xⁿ < 2 ; ln(1) < ln(1+xⁿ )< ln (2) ;
Intégrer ces trois fonctions entre 0 et 1.
0 < I_n < ln(2).
b. Étudier les variations de la suite (I_n).
Pour x < x < 1, la suite xⁿ est décroissante, donc xⁿ⁺¹ < xⁿ.
1+xⁿ⁺¹ <1+xⁿ entraîne ln(1+xⁿ⁺¹ ) <ln(1+xⁿ ) entaîne I_n+1 < I_n : la suite (I_n) est décroissante.
c. En déduire que la suite (I_n) est convergente.
Les intégrales I_n sont positives car intégrales de fonctions positives. Elles sont minorées par zéro.
La suite (I_n) est décroissante et minorée par zéro, donc elle converge.
3. Soit g la fonction définie sur [0 ; +∞[ par : g(x) = ln(1+x)−x.
a. Étudier le sens de variation de g sur [0 ; +∞[.
g '(x) = 1 / (1+x) -1 = -x /(1+x).
g'(x) < 0 sur [0 ; +∞[ ; g(x) est strictement décroissante.
b. En déduire le signe de g sur [0 ; +∞[.
g(0) = 0 ; g(x) = x [ln(1+x) / x-1].
En +oo, ln(1+x) / x tend vers zéro ; g(x) tend vers -oo.
g(x) est négative ou nulle sur [0 ; +∞[ soit ln(1+x)< x.
Montrer alors que pour tout entier naturel n non nul, et pour tout x réel positif, on a : ln(1+xⁿ) < xⁿ.
Quel que soit x > 0, il existe X > 0 tel que x = Xⁿ et donc ln(1+Xⁿ) < Xⁿ.
c. En déduire la limite de (I_n).

Quand n tend vers plus l'infini 1/(n+1) tend vers zéro : or I_n > 0, d'après le théorème des gendarmes la limite quand n tend vers +oo de I_n est zéro.