On se propose d’étudier le principe de fonctionnement d’un pH-mètre. Il est composé de trois étages :

- mesure de la f.é.m. du capteur,

- amplification de la f.é.m. par un montage amplificateur,

- décalage de la tension obtenue en vue d’une lecture directe du pH.

Les amplificateurs opérationnels sont supposés parfaits et fonctionnent en régime linéaire.

1. Étude du capteur pH-métrique.
   On dispose d’un capteur de pH constitué d'une électrode de verre et d'une électrode au calomel. On montre que lorsque ces deux électrodes sont plongées dans une solution aqueuse, on obtient une pile dont la force électromotrice E dépend de la concentration en ion hydronium [H₃O⁺] de la solution.

   On étudie alors cette dépendance pour trouver la relation liant la force électromotrice E et le pH de la solution. La force électromotrice E d'une pile ne peut se mesurer directement que si la pile ne débite aucun courant. En plaçant un montage suiveur entre la cellule et le voltmètre V comme le montre la figure ci-dessus, on s'assure que la pile ne débite aucun courant. L’électrode au calomel est reliée à la masse du montage. Son potentiel est alors le potentiel référence du montage : elle porte alors le nom d'électrode de référence.
   - Établir l’expression de U₁ en fonction des caractéristiques de la pile.
   - Des solutions tampons sont utilisées pour étalonner le pH-mètre. On utilise trois solutions tampons de pH connus 4,00 ; 7,20 et 10,0. On plonge successivement les électrodes dans les trois solutions tampons et on mesure le pH dans chaque cas. On obtient les résultats suivants :

   pH	4	7,2	10
   U1(V)	0,174	-0,012	-0,174

   Établir la relation numérique entre U₁ et pH, puis entre E et pH.

2. Étude de l’adaptateur. afin de pouvoir faire une lecture directe du pH sur le voltmètre, il faut amplifier et inverser la force électromotrice E pour obtenir une variation de U_s de 1,0 V quand le pH varie d’une unité et décaler l’origine des tensions.

   Étude du montage amplificateur inverseur
   - Exprimer le gain du montage ci-dessus : G = U_s/U₁. Justifier le nom donné à ce montage.
   - On fixe R₂ = 10,0 kW. En déduire la valeur de R₁ pour obtenir une variation de U_s de 1,0 V quand le pH varie d’une unité (on prendra pour expression de U₁ : U₁ = -0,058 pH + 0,406)
   - En déduire l’expression numérique de U_s en fonction de pH.
   - Indiquer la valeur affichée lorsque pH = 2,0 et pH = 8,0.

3. Etude du décaleur de l’origine des tensions.
   Afin de pouvoir faire une lecture directe du pH sur le voltmètre V de résistance interne très grande, il fautajouter un décaleur d’origine. On réalise donc le montage suivant :

   - Établir la relation entre U₃ et U₄ en faisant apparaître R₃ et R₄.
   - Donner l’expression de U_v en fonction de U₃, R₃, R₄ et du pH.
   - On donne maintenant U₃ = -15,0 V. On désire afficher U_v = 0,7 V lorsque pH = 7,0. En déduire la relation entre R₃ et R₄. Calculer la valeur de R₃ si R₄ = 470 W.- Donner l’expression du pH en fonction de U_v.

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corrigé

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Montage suiveur : U₀ = U₁.

U₁= E -r i : l'intensité étant négligeable dans l'entrée E⁺ alors U₁ =E.

pH	4	7,2	10
U1(V)	0,174	-0,012	-0,174

DpH/ D U₁ = (7,2-4) / (-0,012-0,174)= -17,2

DpH/ D U₁ =(10-7,2) / (-0,174-(-0,012)= -17,2

pH= -17,2 U₁+ Cte

comment trouver la constante : 4 = -17,2*0,174 + Cte d'où Cte = 7

pH= -17,2 U₁+ 7

ou bien U₁ = -0,058 pH + 0,407.

quand le pH augmente de 3 unités, alors U₁ diminue de 0,174 V.

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A est une masse virtuelle car l'entrée E⁺ est à la masse)

U_s = -R₂ i et U₁ = R₁ i d'où G=U_s/U₁ = -R₂/R₁.

si R₂ supérieure à R₁ la tension U_s est supérieure à U₁ ( amplification)

U₁ et U_s sont de signe contraire d'où le mot "inverseur".

D U₁ /DpH= -0,058 ; si DpH=1 alors D U₁ = -0,058 V

D U_s = D U₁ (-R₂/R₁) soit R₁ = D U₁ (-R₂) / D U_s =0,058 *10⁴ /1 = 580 W.

U_s = U₁ (-R₂/R₁) = -17,2 U₁ = -17,2(-0,058 pH+0,406)

U_s = pH- 7.

si pH=2 alors U_s= -5 V ; si pH=8 alors U_s= 1.

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l'intensité du courant dans V est négligeable.

U₃=(R₃+R₄)i et U₄ = R₄ i

U₃ / U₄ = (R₃+R₄) / R₄ .

U₄ +U_v=U_s soit U_v=U_s - U₄ = pH-7- U₃ R₄ / (R₃+R₄).

0,7 = 7-7-(-15)*470 / (R₃+470).

0,7 = 7050/(R₃+470) ; (R₃+470)*0,7 = 7050 soit R₃ = 9600 W.

U_v= pH-7- (-15)*470 / (9600+470) =pH-7+0,7= pH-6,3.

pH= U_v +6,3.

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1. Laser dans le visible.
   Le laser hélium-néon a été spécialement conçu pour les besoins de l'enseignement. Sa puissance est P = 0,5 mW. Le faisceau présente une divergence : les rayons issus du laser sont émis dans un cône de demi-angle au sommet a = 1,0 mrad
   Un élève imagine un observateur très imprudent regardant dans l'axe du faisceau. Le faisceau entre entièrement dans la pupille. L'oeil est équivalent à une lentille mince convergente de distance focale OF' =f '= 15 mm selon le schéma ci-dessous :

   - Calculer le diamètre D de la tache lumineuse sur la rétine, placée orthogonalement à l'axe optique de la lentille, dans le plan focal image. L'expression de D s'appuiera sur un schéma.
   - Calculer l'éclairement énergétique reçu par cette tache. Comparer la valeur obtenue à celle de l'éclairement moyen du Soleil sur la Terre : 1 kW.m^-2. Conclure.

2. Découpe au laser
   Un laser à dioxyde de carbone, fonctionnant en continu, de puissance P = 3,0 kW, est utilisé pour découper une plaque d'aluminium d'épaisseur e = 6,0 mm, à la température initiale T₀ = 290 K. On opère sous la pression atmosphérique normale. La vitesse de coupe est de 14,0 mm.s^-1.
   Données pour l'aluminium : Température de fusion : T_f = 933 K ; Température de vaporisation sous la pression atmosphérique normale : T_v = 2740 K ; Capacité thermique massique du solide : c_S = 0,90 kJ.K^-1.kg^-1 (indépendante de T) ; Capacité thermique massique du liquide : c_l = 1,09 kJ.K^-1.kg^-1 (indépendante de T) ; Enthalpie massique de fusion à 933 K : L_f = 397 kJ.kg^-1 ; Enthalpie massique de vaporisation à 2740 K sous la pression atmosphérique normale :L_v = 1,05×104 kJ.kg^-1 ;Masse volumique : .== 2,71×10³ kg.m^-3.
   - Calculer le temps nécessaire pour découper une tôle de 1,00 m de longueur.
   - Calculer l'énergie apportée par le faisceau laser pendant cette découpe.
   - Déterminer la masse d'aluminium vaporisé si on néglige les différentes pertes énergétiques.
   - Préciser la largeur du trait de découpe. 
3. Pour mesurer avec précision la distance L Terre-Lune, qui augmente à un rythme annuel de 3 à 4 cm, on exploite la grande directivité d'un faisceau laser, de longueur d'onde l = 532 nm. On émet une impulsion laser au foyer F d'un télescope placé à la surface de la Terre. Ce télescope est pointé en direction d'un réflecteur placé sur la Lune, qui renvoie vers la Terre une partie de la lumière qu'il reçoit. La mesure du temps T écoulé entre l'émission et la réception du signal par un détecteur placé en F permet de déterminer la longueur du chemin optique d'un aller-retour Terre-Lune, dont on déduit la distance L. Le laser émet des impulsions de durée t = 5,0×10^-10 s ; l'énergie lumineuse transportée à chaque impulsion est 0,30 J. La mesure du temps T est 2,56 s.
   - Calculer la distance L Terre-Lune.
   - Déterminer la puissance du laser lorsqu'il émet.
   - Calculer le nombre de photons émis par impulsion.
   Données : Constante de Planck : h = 6,62×10^-34 J.s ; Célérité de la lumière dans le vide : c = 3,00×10⁸ m.s^-1

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corrigé

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D= f' 2a = 15*2 10^-3 = 0,03 mm.

surface de cette tâche : pr² =3,14*(1,5 10^-5)²= 7,06 10^-10 m².

puissance reçue par unité de surface : 0,5 10^-3/ 7,06 10^-10 = 7 10⁵ Wm^-2= 7 10² kWm^-2.

700 fois supérieur à l'éclairement moyen du soleil : risque de détérioration de la rétine.

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temps nécessaire à la découpe de 1 m de longueur : t = 1/14 10^-3 = 71,4 s.

énergie apportée par le faisceau laser : puissance (W) * durée (s)

énergie E= 3000*71,4= 214,2 kJ.

m (kg) masse d'aluminium découpé

énergie nécessaire à élever la température de m kg de métal de 290 K à 933 K

Q₁ = m *0,9(933-290 )= 578,7 m kJ

énergie nécassaire à la fusion de m kg d'aluminium à 933 K

Q₂= 397 m kJ

énergie nécessaire à élever la température de m kg de liquide de 933 K à 2740 K

Q₃ = m *1,09(2740-933 )= 1969,6 m kJ

énergie nécassaire à la vaporisation de m kg d'aluminium à 2470 K

Q₄ = 1,05 10⁴ m kJ

total : (578,7 + 397+1969,6 +1,05 10⁴ )m = 214,2

m= 214,2/13445=0,0159 kg = 15,9 g.

largeur du trait de coupe :

volume de métal (m³): masse (kg)/ masse volumique (kgm^-3) =0,0159 / 2710 = 5,9 10^-6 m³.

volume = largeur*longueur*épaisseur

largeur (m) = 5,9 10^-6 /( 1*6 10^-3)= 9,8 10^-4 m.

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distance L Terre-Lune aller + retour = 3 10⁸*2,56 =7,68 10⁸ m

distance terre-lune :½ 7,68 10⁵ = 3,84 10⁵ km.

puissance du laser lorsqu'il émet :

énergie (J) / durée (s) = 0,3 / 5 10^-10 = 6 10⁸ W.

nombre de photons émis par impulsion :

énergie d'un photon : E=hc/l = 6,62×10^-34 *3 10⁸ / (532 10^-9)= 3,73 10^-19 J.
nombre de photons par impulsion : 0,3 / 3,73 10^-19 = 8 10¹⁷ photons.

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