Aurélie 04/05

Datation radioactive ; passage de Vénus devant le soleil ; autoinduction

durée 3 heures ; d'après concours technicien supérieur météo 2004

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Datation radioactive

 L'uranium 238 est à l'origine d'une famille radioactive qui conduit à un isotope stable du plomb 20682Pb. Les désintégrations succesives s'accompagnent d'émission de particules a ou de particules b-. La demi-vie des noyaux intermédiaires est suffisamment courtes pour que l'on puisse négliger leur présence dans les produits de la transformation ; on assimile l'ensemble à une réaction unique : 23892U -->20682Pb + xa + y b-.

  1. Déterminer x et y.
  2. On considère qu' à la date t=0 de formation du minerai contenant de l'uranium 238, celui-ci ne contient aucun noyau de plomb 206. On appelle NU(0) le nombre initial de noyau d'uranium 238 et NU(t) le nombre de ces noyaux qui subsistent à la date t et NPb(t) le nombre de noyaux de plomb présents à la date t.
    - Exprimer NPb(t) en fonction de t, de la constante radioactive l de l'uranium 238 et de NU(t)
    - Exprimer l'âge du minerai en fonction de t½ de l'uranium et du rapport NPb(t)/ NU(t)
    - A la date t, l'échantillon du minerai contient 1 g d'uranium 238 et 10 mg de plomb 206. Calculer l'âge du minerai sachant que la demi-vie de l'uranium est 4,5 109 années et que les masses molaires atomiques du plomb et de l'uranium exprimées en g/mol sont égales à leur nombre respectif de nucléons.
corrigé
23892U -->20682Pb + x 42He + y 0-1e.

conservation du nombre de nucléons : 238 = 206 + 4x soit x= 8.

conservation de la charge : 92 = 82 + 2x-y soit 10=2x-y d'où y = 6.

loi de décrioissance radioactive : NU(t) = NU(0) exp(-lt) soit NU(0) = NU(t) exp(lt)

NPb(t) = NU(0) -NU(t) = NU(t)( exp(lt)-1)

NPb(t) / NU(t) = exp(lt)-1 avec lt½ = ln 2.

1+NPb(t) / NU(t) = exp(lt) ; ln(1+NPb(t) / NU(t))= lt ;

t= ln(1+NPb(t) / NU(t))/l = ln(1+NPb(t) / NU(t))/ ln2 t½.

nombre de noyaux à la date t = masse (g) / masse molaire (g/mol) * nombre d'Avogadro

soit NPb(t) = 0,01/ 206*A et NU(t) = 1/238 * A

NPb(t) / NU(t)) = 0,01/206*238= 1,155 10-2.

1+NPb(t) / NU(t))= 1,01155 ; ln(1+NPb(t) / NU(t)) = ln 1,01155 = 1,1487 10-2.

t= 1,1487 10-2 / ln 2 * 4,5 109 = 4,46 107 années.

passage de Vénus devant le soleil :

Le 8/6/04 la planète Vénus, vue de la Terre passera devant le soleil pendant à peu près cinq heures. Si cette observation est effectuée à partir de deux points A et B très éloignés sur la terre, on constate que la trace de la trajectoire de Vénus ( assimilable à un segment de droite) sur le disque solaire a une position différente suivant le lieu d'observation.

A' est la trace vue de A et B' celle vue de B. On appelle e la distance de ces deux traces. Les angles (A'VB') et (AVB) sont suffisamment petits pour que leur mesure en radians, soit assimilables respectivement à e/dSV etAB/dTV où dSV représente la distance Soleil-Vénus et dTV la distanceTerre- Vénus, AB est la distance entre les deux points d'observation. On suppose que la terre et Vénus écrivent, dans le même plan,des mouvements circulaires uniformes autour du soleil. Au moment de l'observation les planètes et le soleil sont alignés. La période de révolution de la Terre est TT= 365 jours et celle de Vénus TV= 225 jours.

  1. La terre et Vénus sont soumises à la seule force de gravitation et compte tenu des hypothèses faites trouver une relation entre dTS, dSV, TT et TV. Sous quel nom est connu cette relation.
  2. Au moment de l'observation, et à partir de la question précédente, exprimer e en fonction de AB, TT et TV.
  3. Sachant que AB= 4000 km calculer la valeur de e.
  4. A partir de deux photographies prises en A et B on constate que le diamètre du soleil vaut 11,5 cm et e= 0,9 mm. En déduire le diamètre réel du soleil.
  5. Sachant que le soleil est vu de la terre sous un diamètre apparent de 0,5°, déduire des calculs précédents la distance terre soleil.

 

corrigé
Dans sa course, Vénus se retrouve tantôt entre la Terre et le Soleil (Conjonction inférieure), tantôt à l'opposé du Soleil (Conjonction Supérieure).

Si le plan de l'orbite de Vénus était le même que le plan de l'orbite de la Terre autour du Soleil, il se produirait un transit, c'est-à-dire un passage de la planète devant le Soleil, à chaque Conjonction inférieure de Vénus.

Mais du fait de l'inclinaison de son orbite de 3°23' par rapport à l'écliptique (le plan de l'orbite terreste autour du Soleil), le passage de Vénus devant le Soleil ne peut avoir lieu que si les trois astres sont alignés et à condition que Vénus passe au point d'intersection de son plan orbital avec l'orbite de la Terre (ligne des noeuds).

référentiel d'étude : le soleil ( héliocentrique); systéme étudué : la terre

le mouvement de la terre est circulaire uniforme d'accélération centripète aN=v²/D

la seconde loi de Newton s'écrit sur l'axe de vecteur unitaire u : GMsoleil Mterre / D²= Mterre v²/D

d' où v² = GMsoleil / D

la terre décrit une circonférence de rayon D en une période notée TT à une vitesse v.

2pD=vTT.

élever au carré : 4p²D²=v²T²T.

remplacer v² par l'expression donnée ci-dessus : 4p²D²= GMsoleil / DT²T.

soit T²T / D3 = 4p² / (GMsoleil ) ou bien T²T / RT3 = 4p² / (GMsoleil ). 3ème loi de kepler.

relation liant RT/RV et TT/TV :

pour la terre : T²T / RT3 = 4p² / (GMsoleil ).

pour Vénus : T²V / RV3 = 4p² / (GMsoleil ).

[TT / TV ]2 = [RT /RV]3

TT2 = [RT /RV]3 TV 2.

RT étant supérieur à RV, donc TT est supérieur à TV.

avec les notations du texte : TT2 = [dST /dTV]3 TV 2.

e / dTV = AB / (dST -dTV)

AB = e(dST -dTV) / dTV =e(dST/dTV -1)

soit e = AB / dST/dTV -1) .

or dST/dTV = [TT/TR]2/3 soit e= AB/ [(TT/TR)2/3-1].

e= 4 106 /((365,25/225)2/3 -1)= 1,05 107 m

diamètre réel du soleil : d = 1,05 107 / 0,910-3 *0,115 =1,43 109 m = 1,34 106 km.

distance Terre Soleil (Unité Astronomique) : 0,5 degré = 0,5*3,14/180 = 8,7 10-3 rad.

8,7 10-3 = diamètre soleil / distance terre-soleil

distance terre-soleil = diamètre soleil / 8,7 10-3 =1,34 106 / 8,7 10-3= 1,54 108 km.

distance Vénus Soleil : [TT / TV ]2 = [RT /RV]3

[TT / TV ]2/3 = RT /RV soit RV =RT /[TT / TV ]2/3 ;

RV = 1,54 108 / (365,25 /225) 2/3 = 1,1 108 km



autoinduction :

 On dispose :

- d'un générateur basse fréquence (GBF) dont l'une des bornes de sortie est reliée à la masse. Il délivre une tension alternative triangulaire d'amplitude Um = 6 V et de fréquence f réglable.

- d'une bobine d'inductance L= 0,1 H et de résistance r = 10 W.

- d'un conducteur ohmique de résistance R= 10 k W.

On réalise le montage ci-dessous :

  1. Reproduire le schéma du montage et y ajouter les branchements à éffectuer pour visualiser les tensions ug sur la voie 1 et uR sur la voie 2 d'un oscilloscope.
    - L'une des tensions permet d'observer l'allure de l'intensité du courant. Laquelle ? Justiifer.
  2. Exprimer uB en fonction de ug et uR
    -     Exprimer la tension aux bornes de la bobine en fonction de r, i, L et di/dt.
  3. Le document ci-dessous donne l'allure des tensions uB et uR. Déterminer la période T de l'intensité du courant.
    - Déterminer l'amplitude imax de l'intensité.
  4. On considère sur le document ci-dessus, une demi-période où la rension uB est positive. Déterminer une valeur approchée de la tension uB en admettant qu'elle est constante.
    - Montrer que la dérivée par rapport au temps de l'intensité du courant vaut di/dt = +2,4A/s.
    - En déduire l'ordre de grandeur de la valeur L de l'inductance de la bobine en négligeant l'influence de la résistance de la bobine.
  5. On réalise le montage ci-dessous : R' = 500 W ; la bobine est celle utilisée ci-dessus ; X est un dipole inconnu.

    On visualise la tension uX aux bornes du dipôle X et on obtient le document 2.

    - Comment appelle-t-on le phénomène visualisé sur le document ?
    Identifier le dipôle X parmi les dipôles suivants : conducteur ohmique, bobine, condensateur.
    - Donner l'ordre de grandeur de la pseudopériode
    - En déduire une valeur approchée de la grandeur caractéristique du dipôle X en assimilant la pseudopériode à la période propre.

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corrigé

La tension aux bornes d'un résistor et l'intensité qui le traverse sont proportionnelles : observer uR c'est donc observer l'image de l'intensité au facteur R près.

ug= uR+uB soit uB = ug- uR.

de plus uB= ri + Ldi/dt.

période T de l'intensité du courant = 1 ms = 10-3 s. ( lecture document 1)

amplitude imax de l'intensité = uRmax/ R = 6 / 104 = 6 10-4 A.

uB voisine 0,25 V ( lecture document 1)
duR/dt = 12 / 0,5 10-3 = 2,4 104 V/s

or uR= R i = 104 i

soit di/dt = 1/R duR/dt = 2,4 104 / 104 = 2,4 A/s.

uB voisin Ldi/dt voisin 0,25 V

soit L voisin : 0,25 / 2,4 = 0,1 H.

décharge oscillante d'un condensateur à travers une bobine inductive.

circuit RLC en oscillations libres amorties.

environ 800 microsecondes pour 4 pseudopériodes soit T= 200 ms = 0,2 ms = 2 10-4 s.

fréquence correspondante : f=1/ 2 10-4 = 5000 Hz

pulsation correspondante w = 2pf = 6,28*5000 = 3,14 104 rad/s.

dans le cas d'un dipôle LC, non amorti la pulsation vaut w2= 1/(LC)

d'où C = 1/ (L w2) = 1/(0,1*(3,14 104)2) = 10-8 F = 10 nF.

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