Aurélie 02 / 2005

Isotherme, monotherme, isobare, monobare, adiabatique

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 Isotherme :

Soit une mole de gaz parfait à l'état caractérisé par( Pi, Vi et Ti) ; l'une des parois du récipient contenant ce gaz est un piston mobile ; elle est en contact thermique avec l'extérieur dont la température est constante, égale à T0= Ti . En déplaçant lentement le piston, la pression du gaz atteint la valeur P0.

  1. Exprimer la température finale Tf et le volume final Vf du gaz en fonction de Pi, Vi et P0.
  2. Exprimer le travail reçu par le gaz en fonction de Pi, Vi et P0.
  3. Exprimer la quantité de chaleur reçue par le gaz en fonction de Pi, Vi et P0.
  4. Exprimer la variation d'entropie du gaz ?

 Monotherme :

Soit une mole de gaz parfait à l'état caractérisé par( Pi, Vi et Ti) ; ce gaz est placé dans un récipient calorifugé. A la date t, on supprime le calorifugeage. Le système en contact thermique avec l'extérieur, dont la température reste constante T0 atteint un état d'équilibre thermique. Mêmes questions que ci-dessus.

corrigé
 Isotherme :

La transformation est réversible, étant suffisamment lente pour être à chaque instant en équilibre thermique avec le milieu extérieur ; la transformation est isotherme. Tf=T0= Ti.

équation des gaz parfaits : Pf Vf= RT soit Vf= RT/Pf = RT0/P0.

de plus PiVi= RT0 d'où : Vf=PiVi/P0

travail reçu par le gaz : la transformation est réversible PV= RT0 = PiVi

dW= -PdV = -PiVi/ V dV = -PiVi d ln(V)

intégrer entre Vi et Vf : W= -PiVi ln(Vf/Vi) avec Vf/Vi = Pi/P0

W= -PiVi ln (Pi/P0)

quantité de chaleur reçue : l'énergie interne du gaz parfait ne dépendant que de la température DU=0 ( isotherme)

premier principe : Q+W=DU=0 soit Q= -W= PiVi ln (Pi/P0)

variation d'entropie élémentaire : dS= dSéchangée + dScréée

dScréée.=0 car transformation réversible

D Séchangée =Q/T0 = PiVi /T0 ln (Pi/P0)= R ln (Pi/P0)

 Monotherme :

Des échanges thermiques entre le gaz et le milieu extérieur aboutissent à l'équilibre thermique : Tf=T0.

L'opération n'est pas réversible, ni quasi-statique si les échanges sont rapides.

Le volume reste constant : Vi= RTi/Pi = RTf/Pf=RT0/Pf soit Pf = T0/Ti Pi

Les parois sont fixes, le volume reste constant : aucune force ne travaille et W = 0.

variation d'énergie interne du gaz parfait : D U= Cv, m (T0-Ti)

Cv, m capacité thermique molaire à volume constant.

D U= Q+W ( premier principe) ; W=0 soit Q= D U= Cv, m (T0-Ti)

L'entropie est une fonction d'état : en conséquence peut importe le chemin suivi entre l'état initial et final ; le calcul de la variation d'entropie est fait pour une transformation réversibble.

pour une transformation élémentaire : dS= dQ/T = (dU-dW)/T = Cv, m /T dT+ PdV/T avec P/T= R/V

dS=Cv, m d ln(T) + R d ln(V)

intégrer entre Ti et Tf=T0 : D S = Cv, m ln(T0/Ti) + R ln(Vf/Vi) = Cv, m ln(T0/Ti) car Vf=Vi

D S= D Séchangée + D Scréée

D Séchangée = Q/T0 = Cv, m (1-Ti/T0 )

D Scréée =D S-D Séchangée = Cv, m[ln(T0/Ti)- (1-Ti/T0 )]

D Scréée est positive, la transformation étant irréversible.


Isobare :

Soit une mole de gaz parfait à l'état caractérisé par( Pi, Vi et Ti) ; ce gaz est placé dans un cylindre calorifugé, muni d'un piston. La pression extérieure est P0=Pi= constante. On chauffe lentement le gaz par une résistance électrique jusqu'à la température notée Tf.

  1. Exprimer la pression finale Pf et le volume final Vf en fonction de Pi et Tf.
  2. Exprimer le travail reçu par le gaz.
  3. Exprimer la quantité de chaleur reçue par le gaz et la durée de l'opération.
  4. Exprimer la variation d'entropie d'une mole de ce gaz ?

Monobare :

Soit une mole de gaz parfait à l'état caractérisé par( Pi, Vi et Ti) ; ce gaz est placé dans un cylindre calorifugé, muni d'un piston, bloqué par une cale. La pression extérieure est P0 différente de Pi. On retire à une date t=0 la cale bloquant le piston. Mêmes questions que ci-dessus.

corrigé
Isobare :

La transformation peut être considérée comme réversible, l'équilibre mécaniques étant réalisé à chaque instant entre le système et le milieu extérieur : la transformation est isobare.

Equation d'état du gaz parfait : Vf= RTf/Pf=RTf/P0.

La transformation est réversible : dW= - PdV = -P0dV et W= -P0(Vf-Vi )= P0(Vi-Vf) =R(Ti-Tf)

Energie fournie par effet Joule au gaz pendant la durée Dt de la transformation : Q= RI²Dt

variation d'énergie interne du gaz : DU= CV, m (Tf-Ti)

D U= Q+W ( premier principe) CV, m (Tf-Ti) = R(Ti-Tf) + RI²Dt

Dt = [(CV, m +R)(Tf-Ti)]/ (RI²)

en utilisant la fonction enthalpie, on trouve, à pression constante : D H= CP, m (Tf-Ti)= RI²Dt

et Dt = [CP, m(Tf-Ti)]/ (RI²) avec CV, m +R = CP, m

variation d'entropie élémentaire : dS= dSéchangée + dScréée

dScréée.=0 car transformation réversible

dSéchangée =dQ/Tf = dH/Tf= CP, m dT / T=CP, m dln(T)

intégrer entre Ti et Tf : DS =CP, m ln(Tf/Ti)

Monobare :

La transformation est adiabatique( cylindre calorifugé). Le piston se déplace rapidement quand on enlève la cale, la transformation n'est pas réversible.

La pression finale est égale à la pression du milieu extérieur : Pf=P0.

travail fourni par le milieu extérieur au gaz , transformation monobare :

W= -P0 ( Vf-Vi)= -P0 Vf(1-Vi/Vf)

Or P0Vf/Tf = PiVi/Ti = R d'où : Vi/Vf = P0Ti/ (PiTf )

W = -P0 Vf(1- P0Ti/ (PiTf ))

La transformation est adiabatique : Q=0

variation d'énergie interne du gaz : DU= CV, m (Tf-Ti)

D U= Q+W ( premier principe) CV, m (Tf-Ti) =-P0 Vf(1- P0Ti/ (PiTf ))

Vf =CV, m (Tf-Ti) /(1- P0Ti/ (PiTf ))

variation d'enthalpie au cours d'une transformation élémentaire : dH= dU+d(PV)

dH=dW+0 + PdV+VdP avec PdV+VdP = RdT( différencier PV= RT)

dH=dW+RdT

puis intégrer : H= W + R(Tf-Ti) = -P0 ( Vf-Vi)+ R(Tf-Ti)

L'entropie est une fonction d'état : en conséquence le chemin emprunté entre l'état initial et final importe peu ; le calcul de la variation d'entropie est fait pour une transformation réversibble.

pour une transformation élémentaire : dS= dQ/T = (dU-dW)/T = Cv, m /T dT+ PdV/T

PV=RT soit en différenciant : PdV+ VdP= RdT ou PdV= RdT-VdP

dS= Cv, m /T dT+ R/TdT-V/T dP= (Cv, m +R)/T dT - RdP / P = CP, m/T dT - Rd ln(P) = CP, md ln(T) - Rd ln(P)

DS=CP, m ln(Tf/Ti) - R ln(P0/Pi)

Adiabatique réversible :

Soit une mole de gaz parfait à l'état caractérisé par( Pi, Vi et Ti) ; ce gaz est placé dans un cylindre calorifugé, muni d'un piston. La pression extérieure est P0= constante. Ce gaz subit une transformation adiabatique. Le piston est lentement déplacé jusqu' à ce que la pression du gaz devienne P0.

  1. Exprimer la température finale Tf et le volume final Vf en fonction de P0, Pi, Vi et Ti .
  2. Exprimer le travail reçu par le gaz.
  3. Exprimer la quantité de chaleur reçue par le gaz et la durée de l'opération.
  4. Exprimer la variation d'entropie d'une mole de ce gaz ?

Adiabatique non réversible :

Soit une mole de gaz parfait à l'état caractérisé par( Pi, Vi et Ti) ; ce gaz est placé dans un cylindre calorifugé, muni d'un piston, bloqué par une cale. La pression extérieure est P0 différente de Pi. On retire à une date t=0 la cale bloquant le piston. Mêmes questions que ci-dessus.

 

corrigé
Adiabatique réversible :

loi de Laplace : PVg=Cte ; PiVig=PfVfg soit Vf = Vi (Pi/Pf)1/g ; Vf = Vi (Pi/P0)1/g

g :rapport des chaleurs massiques à pression et à volume constant, supposé indépendant de la température

équation du gaz parfait : Pf Vf =P0Vf = RTf soit Tf =P0Vf / R= Vi P0 (Pi/P0)1/g / R = ViPi1/g P01-1/g / R

or ViPi / R = Ti ; Tf =Ti (Pi/ P0)1/g-1

travail reçu par un gaz parfait au cours d'une transformation adiabatique réversible :

travail élémentaire : dW= -PdV = -Cte /Vg dV=-Cte V-g dV= -Cte/(-g+1) d V-g+1

intégrer entre Vi et Vf : W=-Cte /(-g+1) (Vf-g+1- Vi-g+1 ) avec Cte =PiVig=P0Vfg

W=-( P0Vfg Vf-g+1- PiVig Vi-g+1 ) /(-g+1)= (-P0Vf + PiVi) /(-g+1)

La quantité de chaleur reçue au cours d'une transformation adiabatique est nulle.

La variation d'entropie est nulle :

transformation adiabatique (pas d'échange d'entropie)

et transformation réversible (pas d'entropie créée )

Adiabatique non réversible :

Le piston se déplace rapidement quand on libère la cale, la transformation n'est pas réversible. La loi de Laplace ne s'applique pas.

La transformation est monobare : le travail mécanique des forces pressantes extérieures à pression constante vaut

W= -P0(Vf-Vi)= -P0Vf(1-Vi/Vf)

équation du gaz parfait : PiVi/Ti= P0Vf/Tf soit : Vi/Vf = P0Ti/(PiTf )

W= -P0Vf(1- P0Ti/(PiTf ))= -RTf(1- P0Ti/(PiTf ))

La transformation est adiabatique : Q=0

Conservation de l'énergie ( premier principe ) DU= W+Q= -P0(Vf-Vi) et DU= Cv,m(Tf-Ti) = R/(g-1)(Tf-Ti)

R/(g-1)(Tf-Ti) = -RTf(1- P0Ti/(PiTf ))

1/(g-1)(1-Ti/Tf) = P0Ti/(PiTf )-1

1/(g-1) +1 =Ti/Tf( 1+ P0/Pi)

g /(g-1)=Ti/Tf( 1/(g-1)+ P0/Pi)

Tf = Ti( 1+ P0/Pi(g-1))/g

volume final :Vf = RTf/P0=RTi/P0( 1+ P0/Pi(g-1))/g

variation d'entropie : imaginer une transformation réversible passant de l'état initial à l'état final

transformation élémentaire : dS =dQ/T= (dU-dW)/T = Cv, m /T dT+ PdV/T

PV=RT soit en différenciant :PdV+ VdP= RdT ou PdV= RdT-VdP

PV=RT soit en différenciant :PdV+ VdP= RdT ou PdV= RdT-VdP

dS= Cv, m /T dT R/TdT-V/T dP= (Cv, m -R)/T dT - RdP / P = CP, m/T dT - Rd ln(P) = CP, md ln(T) - Rd ln(P)

DS=CP, m ln(Tf/Ti) - R ln(P0/Pi)


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