Aurélie 25/09/06

Mission sur Mars : satellite, fusion nucléaire, électrolyse de l'eau d'après bac S Antilles 09/2006

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Mission sur Mars : d'autres corrigés : Labolycée.

Un des grands défis de ce siècle (ou du suivant ...) sera d'envoyer une mission d'exploration humaine sur la planète Mars. Le but de cet exercice est d'étudier quelques uns des nombreux problèmes à résoudre avant de pouvoir effectuer une telle mission.

Les trois parties de ce problème sont indépendantes l'une de l'autre.

I- Mise en orbite :

On peut imaginer une base relais (pour le matériel comme pour les communications avec la Terre) sur Phobos, un des satellites de Mars. Dans cette première partie, nous allons étudier le mouvement de ce satellite. On supposera que tous les objets étudiés sont à répartition sphérique de masse.

Données : G = 6,67 10 -11 N.m2.kg -2 ; distance entre le centre de Mars et celui de Phobos : r = 9,38.103 km ; masse de Mars : mM = 6,42 1023 kg ; la masse de Phobos sera notée mp ; période de rotation de Mars : TM = 24 h 37 min.

On supposera que Phobos a un mouvement circulaire uniforme autour de Mars de vitesse v et on supposera que l'on travaille dans un référentiel galiléen centré sur Mars.

  1. Donner la définition d'un mouvement circulaire uniforme.
  2. Représenter le point d'application, la direction et le sens du vecteur accélération de Phobos sur un schéma.
  3. Donner l'expression de la norme du vecteur accélération de Phobos en fonction de v et r.
  4. Appliquer la deuxième loi de Newton à ce satellite. En déduire que l'expression de sa vitesse de révolution autour de Mars est: v =[GmM/r]½.
  5. Déterminer l'expression reliant v, r et Tp (Tp étant la période de révolution de Phobos autour de Mars).
  6. Montrer que T²p/r3 = 9,22 10 -13 s2 m -3
  7. En déduire la valeur de Tp.
  8. Dans quel plan faut-il placer un satellite pour qu'il soit immobile par rapport à la base relais sur Mars ? Justifier votre réponse sans calcul.
  9. Quelle est la période TS de révolution d'un tel satellite ?

II- Aspect énergétique :

Une fois sur la planète, les explorateurs devront pouvoir trouver une source fiable d'énergie. Une possibilité serait d'utiliser du deutérium et du tritium pour alimenter un réacteur de fusion nucléaire.

  1. L'hydrogène 11H , le deutérium 21H et le tritium 31H sont des isotopes. Donner la définition du mot isotope.
    On étudiera la réaction de fusion suivante : 21H + 31H ---> 42He + 10n
    - En utilisant la courbe d'Aston ci-dessous, montrer qualitativement que la fusion du deutérium et du tritium dégage de l'énergie. On rappelle que El / A est l'énergie de liaison par nucléon.
  2. Étude quantitative de la réaction de fusion : 21H + 31H ---> 42He + 10n
    Données : NA= 6,02 1023 mol-1 ; masse d'un neutron : m(n) = 1,674929 10-27 kg = 1,00869 u ; m( 21H ) = 3,3435 10 -27 kg = 2,01355 u ;
    m( 31H ) = 3,01550 u ; m(He) = 4,00150 u ; c = 2,99792 108 m.s-1 ; 1 u = 1,66050 10 -27 kg ; 1 eV = 1,60 10 -19 J
    - Montrer que le défaut de masse de la réaction de fusion étudiée vaut Dm = - 0,01886 u.
    - Rappeler la relation d'équivalence masse - énergie.
    - Montrer que l'énergie libérée par la réaction de formation d'un noyau d'hélium est : E = - 2,81 10-12 J.
    - Calculer le nombre de noyaux contenus dans m = 100 g de deutérium.
    - En déduire que la fusion de m = 100 g de deutérium avec la quantité correspondante de tritium, libère une énergie El = - 8,40 1013 J.

III- Problème de l'air :

Il est inconcevable d'emmener les quantités d'air suffisantes pour la durée de l'exploration de la planète. L'atmosphère de Mars contient surtout du dioxyde de carbone (95,3%) impropre à la respiration. Il est nécessaire de fabriquer le dioxygène sur place. Une solution envisageable est l'électrolyse de l'eau extraite du sol.

  1. Principe de l'électrolyse de l'eau. La réaction a pour équation : 2 H2O(l) = O2 (g) + 2 H2 (g)
    - Les deux couples mis en jeu étant O2 (g) / H2O(l) et H2O(l) / H2 (g), compléter le schéma de principe de l'électrolyseur en indiquant le nom des électrodes, la nature de la réaction (oxydation ou réduction) pour chaque électrode.

    -Rappeler, sans le justifier, si cette électrolyse est une réaction spontanée ou au contraire forcée.

  2. Étude quantitative de l'électrolyse. On souhaite produire par électrolyse, le dioxygène nécessaire à la respiration d'un spationaute. Données : pour les gaz Vm = 25 L mol-1 à 25°C sous 105 Pa. 1 faraday (F) = 96 500 C mol-1.
    - Chaque minute, nos poumons envoient un volume v = 0,30 L de dioxygène vers les tissus (respiration normale). Calculer la quantité de matière de dioxygène nO2 envoyée par les poumons pendant une heure (on suppose que la température est de 25°C).
    - Cette quantité de dioxygène est produite grâce à l'électrolyse étudiée dans la première partie. Montrer, en s'aidant au besoin d'un tableau d'avancement d'une demi-réaction, que la quantité de matière d'électrons échangée vaut ne-= 2,88 mol.
    - En déduire la quantité d'électricité Q mise enjeu.
    - Quelle est l'intensité I du courant nécessaire en supposant qu'elle est constante pendant toute l'heure de fonctionnement ?
    - Si la tension aux bornes du générateur U est de 5,00 V, calculer l'énergie électrique, notée Eel, consommée pendant une heure sachant que Eel = UIDt où Dt est la durée de fonctionnement.

corrigé

Définition d'un mouvement circulaire uniforme :

circulaire : la trajectoire est un cercle, centré dans ce cas sur la planète Mars.

uniforme : la valeur ( norme) du vecteur vitesse est constante.

Vecteur accélération de Phobos :

vecteur bleu : accélération centripète

avec M , masse de la planète Mars, r rayon de l'orbite de Phobos

 

La deuxième loi de Newton appliquée à Phobos s'écrit suivant l'axe n, dirigé vers le centre de Mars :

GmMmP/r² = mPa = mPv²/r d'où : v²= GmM/r soit v =[GmM/r]½

Expression reliant v, r et Tp (Tp étant la période de révolution de Phobos autour de Mars).

Phobos décrit une circonférence 2p r, à la vitesse v durant la durée TP : 2p r = vTP

élever au carré : 4p r²=v²T²P

remplacer v² par GmM/r d'où : 4p ² r²=GmM/r T²P

T²P / r3 = 4p ² / (GmM)

Montrer que T²p/r3 = 9,22 10 -13 s2 m -3

4p ² / (GmM) =4*3,14² / ( 6,67 10 -11*6,42 1023 )=9,22 10 -13 s2 m -3

Valeur de Tp : r = 9,38.103 km = r = 9,38.106 m

T²p=9,22 10 -13 r3 = 9,22 10 -13 *(9,38.106 )3=7,60 108 s².

prendre la racine carrée : Tp =2,76 104 s.

Un satellite paraît immobile pour un observateur situé sur le sol de Mars si celui-ci :

- possède une orbite située dans le plan équatorial de Mars ;

- toune dans le même sens que Mars, avec la même vitesse angulaire.

En conséquence la période TS de révolution d'un tel satellite est égale à la période de révolution de la planète : TM = 24 h 37 min.

Fusion du deutérium et du tritium : 21H + 31H ---> 42He + 10n

On rappelle que El / A est l'énergie de liaison par nucléon soit environ : ( daprès la courbe d'Aston)

pour 21H : -2 MeV/nucléons d'où : El(21H) = 2*(-2 ) = -4 MeV ;

pour 31H : -3 MeV/nucléons d'où : El(31H) = 3*(-3 ) = -9 MeV ;

pour 42He : -7 MeV/nucléons d'où : El(42He) = 4*(-7 ) = -28 MeV ;

Energie mise en jeu par la réaction de fusion ci-dessus : El(42He) -El(31H )-El(21H) = -28+9+4 = -15 MeV.

valeur négative, donc de l'énergie est libérée dans le milieu extérieur.

Défaut de masse Dm de la réaction de fusion étudiée :

Dm= m(n) + m(He) - m( 31H )-m( 21H )

Dm= 1,00869 + 4,00150 - 3,01550 - 2,01355 = - 0,01886 u

Relation d'équivalence masse - énergie : D E=Dm c²

Energie libérée par la réaction de formation d'un noyau d'hélium :

Dm= - 0,01886 u = - 0,01886 * 1,66050 10 -27 = -3,13 10-29 kg.

D E=Dm c² = -3,13 10-29 *( 2,99792 108)² = - 2,81 10-12 J

Nombre de noyaux contenus dans m = 100 g de deutérium :

quantité de matière (mol) = masse (g) / masse molaire (g/mol) = 100 / 2 = 50 mol

puis multiplier par le nombre d'Avogadro NA : 50 * 6,02 1023 = 3,01 1025 noyaux.

Energie libérée par la fusion m = 100 g de deutérium avec la quantité correspondante de tritium

3,01 1025*(-2,81 10-12) = - 8,40 1013 J.

Une électrolyse est une réaction forcée, nécessitant un apport d'énergie sous forme électrique.

Quantité de matière de dioxygène nO2 envoyée par les poumons pendant une heure (on suppose que la température est de 25°C) :

Chaque minute, nos poumons envoient un volume v = 0,30 L de dioxygène vers les tissus (respiration normale), soit 0,30*60 =18 L pendant une heure. Donnée :Vm = 25 L mol-1 à 25°C sous 105 Pa

nO2 = volume de dioxygène (L) / volume molaire (L/mol) = 18/25 = 0,72 mol.

Cette quantité de dioxygène est produite grâce à l'électrolyse étudiée dans la première partie :

L'oxydation de l'eau s'écrit : 2H2O = O2+4H++4e-

D'après les coeficients stoechiométriques, la quantité de matière d'électrons échangés est 4 fois supérieure à la quantitié de matière de dioxygène.

ne-= 4*0,72 =2,88 mol.

Or la charge d'une mole d'électron est égale, en valeur absolue, à un faraday soit 96 500 C.
La quantité d'électricité Q mise en jeu vaut donc : Q= 96500*2,88 = 2,78 105 C.
L'intensité I du courant nécessaire en supposant qu'elle est constante pendant toute l'heure de fonctionnement vaut :

I= Q/t = 2,78 105 / 3600 = 77,2 A.
La tension aux bornes du générateur U est de 5,00 V, l'énergie électrique, notée Eel, consommée pendant une heure vaut :

Eel = UIDt = 5*77,2*3600 = 1,39 106 J.



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