Aurélie 19/06/06

Bobine à inductance réglable ; analyse d'un lait ;  à propos de la lumière d'après bac S Antilles 2006.
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Bobine à inductance réglable ( 5,5 points)

On veut vérifier la valeur de l'inductance indiquée par le curseur du dispositif de réglage d'une bobine à noyau de fer doux. Pour cela on va procéder en deux étapes :

Première étape : on détermine la valeur de la capacité d'un condensateur par l'étude expérimentale de sa décharge à travers un conducteur ohmique.

Seconde étape: on étudie la décharge de ce condensateur à travers la bobine pour en déduire la valeur de son inductance.

Détermination de la capacité d'un condensateur :

Le circuit d'étude du condensateur est schématisé ci-dessous :

 

L'interrupteur est en position 1. Le condensateur est chargé sous la tension E. À la date t = 0, on commute l'interrupteur en position 2. Le condensateur se décharge à travers un conducteur ohmique de résistance R = 5,6 kW.

  1. En utilisant la convention récepteur, flécher les tensions uC aux bornes du condensateur et uR aux bornes du conducteur ohmique. Noter par q et - q les charges des armatures du condensateur.
  2. Montrer que l'équation différentielle du circuit vérifiée par la tension uC peut s'écrire : uC + RC duC/dt= 0.
    La solution de l'équation est uC(t) = E exp(-t/t) avec la constante de temps t = RC.
  3. À t = t, la tension aux bornes du condensateur est-elle égale à 37 %, 63% ou 93% de sa valeur initiale ? Justifier la réponse.
  4. À l'aide du graphe donné ci-dessous, déterminer la valeur de la constante de temps t.
  5. En déduire la valeur de la capacité C du condensateur.
  6. Sur le graphe donné, tracer l'allure de la courbe de décharge uC = f(t) dans le cas où on utilise un conducteur ohmique de résistance R' plus faible. Justifier.

Mesure de l'inductance de la bobine :

La bobine étudiée a une inductance L que l'on peut régler de 0,1 H à 1,1 H et une résistance r = 12 W. On admet que la relation uL = ri + Ldi/dt où uL et i sont définis en convention récepteur, reste valable aux bornes de la bobine avec noyau de fer doux. Pour mesurer une valeur L de l'inductance de la bobine, on place l'index de réglage sur 0,5 H. On réalise le circuit suivant :( C = 2,2 µF ).

L'interrupteur est en position 1. Le condensateur est chargé sous la tension E. À la date t = 0, on commute l'interrupteur en position 2.

  1. Pour visualiser à l'ordinateur la tension uC aux bornes du condensateur, représenter sur le schéma du circuit les connexions de la voie l et de la masse de la carte d'acquisition.
  2. Pourquoi qualifie-t-on le régime de la tension uC de pseudo-périodique ?
  3. Dans notre expérience, on peut considérer que la pseudo-période T est égale à la période propre donnée par la relation: T0 = 2p(LC)½. En vous aidant de la courbe uC = f(t), déterminer la valeur de l'inductance L du circuit en expliquant votre démarche.
  4. Comparer la valeur de l'inductance obtenue précédemment avec la valeur pointée par l'index de la bobine en calculant l'écart relatif |Lexp-Lbob|/ Lbob . L'indication de l'index est-elle correcte ? Justifier la réponse.

Bilan énergétique :

Maintenant on s'intéresse à l'évolution temporelle des énergies emmagasinées par le condensateur et la bobine, WC et WL.

 

  1. Écrire les expressions des énergies WC et WL en fonction des données uC, i intensité du courant dans le circuit, C et L.
  2. En vous aidant des conditions initiales, identifier les courbes WC et WL . Justifier votre réponse.
  3. En comparant les évolutions temporelles des énergies WC et WL, que se passe-t-il entre le condensateur et la bobine ?
  4. L'énergie totale W = WC + WL emmagasinée par le circuit décroît au cours du temps. Quelle est l'origine de cette perte d'énergie ?
  5. On aurait pu faire cette étude en associant en série avec la bobine à inductance réglable et le condensateur, un dipôle qui entretient les oscillations électriques. Quel est le rôle de ce dipôle ?

corrigé
équation différentielle du circuit vérifiée par la tension uC :

additivité des tensions : uC +uR=0 ; uC +Ri =0 ;

d'une part i= dq/dt et d'autre part : q=CuC d'où i = CduC/dt

par suite : uC + RC duC/dt= 0.

La solution de l'équation différentielle est uC= E exp(-t/t).

A t= 0 , la tension aux bornes du condensateur est-elle égale à uC(0)= E exp(0) = E.

À t = t, la tension aux bornes du condensateur est-elle égale à uC(t)= E exp(-t/t) = E exp(-1) = 0,37 E soit 37 % de sa valeur initiale.

valeur de la constante de temps t :

valeur de la capacité C du condensateur :

d'une part t = 1,2 10-2 s et R = 5,6 kW = 5,6 103 W et d'autre part t =RC

soit C= t /R = 1,2 10-2 /5,6 103 = 2,1 10-6 F.

Allure de la courbe de décharge uC = f(t) dans le cas où on utilise un conducteur ohmique de résistance R' plus :

d'une part t '= R'C et d'autre part R' est inférieure à R ; en conséquence t '<t


visualiser à l'ordinateur la tension uC aux bornes du condensateur :

Le régime de la tension uC est pseudo-périodique car l'amplitude des oscillations diminue au cours du temps.

valeur de l'inductance L du circuit :

D'une part T=T0= 6,5 10-3 s et d'autre part T0 = 2p(LC)½ soit T²0=4p² LC

d'où L= T²0/(4p² C) avec C= 2,2 10-6 F ; L= (6,5 10-3)² / (4*3,14² *2,2 10-6 ) =0,487 soit 0,49 H.

L'écart relatif vaut alors : (0,50-0,487) / 0,50 = 0,026 ( 2,6 %). L'indication de l'index est satisfaisante à 3% près.


expressions des énergies WC et WL :

L'énergie stockée par le condensateur s'exprime par : WC= ½CuC².

L'énergie emmagasinée par la bobine s'exprime par : WL= ½Li².

Les conditions initiales sont : condensateur chargé , uC= E ; intensité nulle.

La courbe correspondant à WC ( courbe tracée en pointillés) présente donc une valeur maximale à l'instant initial, et la courbe correspondant à WL ( courbe en trait plein) passe par zéro à l'instant initial.

En comparant les évolutions temporelles des énergies WC et WL, on constate que quand WC décroît alors WL croît et vis versa : il y a donc un échange permanent d'énergie entre condensateur et bobine. Au cours de cet échange, une partie de l'énergie est perdue, dissipée sous forme d'effet joule dans les parties résistives du circuit. L'énergie totale W = WC + WL emmagasinée par le circuit décroît donc au cours du temps.

En associant en série avec la bobine à inductance réglable et le condensateur, un dipôle qui entretient les oscillations électriques, on compense à chaque instant l'énergie perdue par effet joule.





analyse d'un lait ( 6,5 points)

On se propose de déterminer les masses en ions chlorure et en acide lactique présents dans un lait.

I- Dosage par conductimétrie :

  1. On prélève un volume V0 = 20,0 mL de lait (solution S0) et on les introduit dans une fiole jaugée de volume VS = 100,0 mL. On complète avec de l'eau distillée et on homogénéise pour obtenir une solution S, de concentration CS. Quel rapport existe entre la concentration C0 de la solution S0 et la concentration CS de la solution S ?
  2. On verse un volume V1 = 10,0 mL de la solution S dans un bécher et on y ajoute environ 250 mL d'eau distillée. Indiquer précisément le protocole à suivre pour prélever 10,0 mL de solution S (matériel utilisé, manipulations à effectuer).
  3. On plonge ensuite dans le bécher une cellule conductimétrique. Initialement et après chaque ajout, mL par mL, d'une solution aqueuse de nitrate d'argent (Ag+(aq) + NO3-(aq)) de concentration C2 = 5,00 10-3 mol.L-1 on détermine la conductivité du milieu réactionnel. Indiquer, sur un schéma annoté, le dispositif expérimental à mettre en place.
    Le suivi conductimétrique du dosage permet d'obtenir la courbe d'évolution de la conductivité s du milieu réactionnel en fonction du volume V2 de la solution de nitrate d'argent versé. La transformation chimique, rapide, met uniquement en jeu les ions chlorure et les ions argent selon l'équation de réaction : Ag+(aq) +Cl-(aq) = AgCl(s), solide blanc, pratiquement insoluble dans l'eau, qui noircit à la lumière.
  4. Quelle est l'origine de la conductivité initiale de la solution ?
  5. En utilisant les valeurs des conductivités molaires ioniques données ci-dessous, interpréter la variation de la valeur de la conductivité s du milieu réactionnel au cours du dosage. À 25°C : lCl- = 76,3 10-4 m².S.mol-1 ; lNO3- = 71,4 10-4 m².S.mol-1 ; lAg+ = 10-4 m².S.mol-1 .
  6. Quel événement correspond au point particulier apparaissant sur la courbe s = f(V2) ?
  7. Déterminer, en utilisant cette courbe, le volume V2E de solution de nitrate d'argent versé à l'équivalence.
  8. Quelle est à l'équivalence la relation entre la quantité de matière en ions argent introduits et la quantité de matière en ions chlorure initialement présents ?
  9. En déduire la concentration molaire CS en ions chlorure initialement présents dans la solution S, puis celle C0 dans le lait.
  10. La masse d'ions chlorure présents dans un litre de lait doit être comprise entre 1,0 g et 2,0 g. Calculer la masse d'ions chlorure présents dans le lait étudié et conclure. Masse molaire des ions chlorure : M(Cl-) = 35,5 g.mol-1.

II- Dosage de l'acide lactique :

Un lait frais ne contient pas d'acide lactique. En vieillissant, le lactose présent dans le lait se transforme en acide lactique, noté par la suite HA. On dose l'acide lactique, considéré comme le seul acide présent dans le lait étudié, par une solution d'hydroxyde de sodium : Na+(aq) + HO-(aq) (soude) de concentration CB = 5,00 10-2 mol.L-1. On prélève un volume VA = 20,0 mL de lait que l'on place dans un bécher et on suit l'évolution du pH en fonction du volume VB de soude versé.

  1. Écrire l'équation de la réaction qui se produit lors du mélange. Quelles caractéristiques doit présenter cette réaction pour être adaptée à un dosage ?
  2. Exprimer puis calculer la constante de réaction K correspondante. Conclure.
    couples acide/base : H2O/HO-(aq) : pKA1 = 14,0 ; H3O+/H2O : pKA2 = 0,0 ; HA(aq)/A-(aq) : pKA3 = 3,9
    On obtient les valeurs données dans le tableau suivant :
    VB (mL)
    0
    2,0
    4,0
    6,0
    8,0
    10
    11
    11,5
    12
    12,5
    13
    14
    16
    pH
    2,9
    3,2
    3,6
    3,9
    4,2
    4,6
    4,9
    6,3
    8,0
    10,7
    11,0
    11,3
    11,5
  3. En utilisant un diagramme de prédominance, déterminer quelle est, entre HA(aq) et A-(aq) l'espèce chimique prédominante au début du dosage.
  4. Pour quel volume de soude versé, HA(aq) et A-(aq) sont-elles présentes en quantités égales ?
  5. Le tracé du graphe représentant l'évolution du pH en fonction du volume de soude versé montre que l'équivalence acide base est atteinte pour un volume de soude VB = 12,0 mL. En déduire la quantité de matière d'acide lactique présente dans le volume VA de lait.
  6. On considère qu'un lait frais a une concentration en acide lactique inférieure à 1,8 g.L-1. Quelle est la masse d'acide lactique présente dans un litre de lait ? Conclure ? Masse molaire moléculaire de l'acide lactique : M(HA) = 90 g.mol-1.

 


corrigé
Dosage par conductimétrie :

On prélève un volume V0 = 20,0 mL de lait (solution S0) et on les introduit dans une fiole jaugée de volume VS = 100,0 mL : le facteur de dilution F est égal à : F= VS /V0 = 100/20 = 5. De plus F= C0 /CS d'où : C0 =5CS.

prélever V1 = 10,0 mL de la solution S :

verser un peu de solution S dans un bécher, prendre une pipette jaugée de 10,0 mL ( rincée avec la solution S) surmontée d'un pipeteur ; utiliser un autre bécher pour placer ce prélevement.

schéma annoté du dispositif expérimental de suivi conductimétrique :

La conductivité initiale de la solution est due à tous les ions qu'elle contient et en particulier à l'ion chlorure.

variation de la valeur de la conductivité s du milieu réactionnel au cours du dosage :

avant l'équivalence, les ions chlorure sont en excès, les ions argent ajoutés sont tous consommés ; on ajoute des ions nitrate d'où l'expression de la conductivité s du milieu réactionnel : s = lCl- [Cl-] + lNO3- [NO3-].

Du point de vue de la conductivité, tout se passe comme si on remplaçait les ions chlorure par les ions nitrate ; de plus le volume de la solution est à peu près constant : or lNO3- <lCl- , en conséquence la conductivité va diminuer.

après l'équivalence, les ions chlorure ont disparu, les ions argent ajoutés ne sont plus consommés ; on ajoute des ions nitrate d'où l'expression de la conductivité s du milieu réactionnel : s = lAg+ [Ag+] + lNO3- [NO3-]. Les concentrations de ces deux ions croissent et en conséquence la conductivité va augmenter.

L'abscisse du point particulier, intersection des deux segments de droites, apparaissant sur la courbe s = f(V2) , donne le volume de solution titrante ajouté à l'équivalence. V2E =12,0 mL

D'après les coefficients stoechiométriques de l'équation de réaction : Ag+(aq) +Cl-(aq) = AgCl(s), à l'équivalence la quantité de matière en ions argent introduits est égale à la quantité de matière en ions chlorure initialement présents.

C2V2E =V1CS d'où CS =C2V2E /V1 = 5,00 10-3 * 12,0 / 10,0 = 6,00 10-3 mol/L

en tenant compte de la dilution, C0 = 5 CS =3,00 10-2 mol/L.

Masse d'ions chlorure présents dans 1 L de lait étudié : CS *M(Cl-) = 3,00 10-2 *35,5 =1,07 g/L.

La masse d'ions chlorure présents dans un litre de lait doit être comprise entre 1,0 g et 2,0 g : ce lait correspond donc à cette norme.

Dosage de l'acide lactique :

Equation de la réaction qui se produit lors du mélange :

HA + HO- = A- + H2O

Une réaction adaptée à un dosage doit être totale et rapide.

Expression de la constante de réaction K correspondante :

K= [A- ]/([HA][HO- ]) ( 1)

de plus AH + H2O = A- + H3O+ avec Ka3 = [A- ][H3O+]/[AH]

soit [A- ] / [AH] = Ka3 /[H3O+]

repport dans (1) : K=Ka3 /([H3O+][HO- ]) = Ka3 / Ka1 = 10-3,9 / 10-14 = 1010,1.

Je conclus : K étant très grand, [HA]éq , figurant au dénominateur dans l'expression de K, est très faible : la réaction est donc bien totale.

Utiliser un diagramme de prédominance :

pH début < pKa3 donc l'espèce chimique prédominante au début du dosage est AH.

HA(aq) et A-(aq) sont présents en quantités égales lorsque pH = pKa3 c'est à dire à la demi-équivalence de ce dosage ( V=½VB= 6 mL)

quantité de matière d'acide lactique présente dans le volume VA de lait :

à l'équivalence, les quantités de matière de réactifs mis en présence sont en proportions stoechiomètriques :

VACA= VBCB soit CA= VBCB / VA = 12,0*5,00 10-2 / 20,0 = 3,00 10-2 mol/L.

soit 3,00 10-2 / 50 = 6,00 10-4 mol AH dans 20 mL de lait.

Masse d'acide lactique présente dans un litre de lait : M(HA) CA= 90* 0,0300 = 2,7 g/L.

On considère qu'un lait frais a une concentration en acide lactique inférieure à 1,8 g.L-1 ; la valeur trouvée, 2,7 g/L étant supérieure à 1,8 g/L, ce lait n'est donc pas frais.



 à propos de la lumière ( 4 points)

Cet exercice décrit deux expériences utilisant une lumière de couleur rouge, émise par un laser, de longueur d'onde dans le vide l = 633 nm.

On rappelle que l'indice de réfraction n d'un milieu est le rapport de la célérité c de la lumière dans le vide et de sa vitesse v dans le milieu considéré : n = c/v

I- Première expérience :

On place perpendiculairement au faisceau lumineux et à quelques centimètres du laser, une fente fine et horizontale de largeur a. Un écran situé à une distance D de la fente, montre des taches lumineuses réparties sur une ligne verticale. La tache centrale plus lumineuse que les autres, est la plus large.

  1. Quel phénomène subit la lumière émise par le laser dans cette expérience ? Que peut-on en conclure par analogie avec les ondes mécaniques ?
  2. L'angle q est donné par la relation : q =l/a (1). Que représente cet angle ?
    - Préciser les unités de chaque terme intervenant dans cette relation.
    - Comment évolue la largeur de la tache centrale lorsqu'on réduit la largeur de la fente ?
  3. Exprimer q en fonction de la largeur l de la tache centrale et de la distance D (relation (2)). L'angle q étant faible, on pourra utiliser l'approximation tanq voisin de q.
  4. En utilisant les relations (1) et (2), montrer que la largeur l de la fente s'exprime par le relation : a = 2lD/l.. Calculer a.
    On donne : l = 38 mm et D = 3,00 m.

II- Deuxième expérience :

On utilise dans cette expérience, comme milieu dispersif, un prisme en verre d'indice de réfraction n. On dirige, suivant une incidence donnée, le faisceau laser vers l'une des faces du prisme placé dans l'air. On observe que ce faisceau est dévié. Un écran placé derrière le prisme montre un point lumineux de même couleur (rouge) que le faisceau incident.

  1. Quelle est la nature de la lumière émise par le laser ? Justifier votre réponse.
  2. La célérité de la lumière dans le vide est c = 3,00 108 m.s-1. Rappeler la relation entre la longueur d'onde l de l'onde émise par le laser, sa fréquence n et sa célérité c. Calculer n.
    - La valeur de n varie-t-elle lorsque cette onde change de milieu de propagation ?
  3. Donner les limites des longueurs d'onde dans le vide du spectre visible et les couleurs correspondantes. Situer les domaines des rayonnements ultraviolets et infrarouges par rapport au domaine du spectre visible. L'indice de réfraction du verre pour la fréquence n de l'onde utilisée est n = 1,61.
    - Pourquoi précise-t-on la fréquence n de l'onde lorsqu'on donne la valeur de n ?
    -Calculer la longueur d'onde l' de cette onde dans le verre.
    On remplace la lumière du laser par une lumière blanche

    - Qu'observe-t-on sur l'écran ?
    - Les traits en pointillé correspondent aux trajets de deux rayons lumineux de couleurs respectives rouge et bleu. Tracer, en les identifiant clairement, ces deux rayons. On rappelle que la déviation d augmente quand la longueur d'onde diminue.

III- Transition quantique dans le laser :

La radiation de fréquence n émise par ce laser, correspond à la transition des atomes de néon d'un état d'énergie E2 à un état d'énergie inférieure E1. La variation d'énergie entre ces deux états excités est notée DE = E2 - E1. Rappeler la relation qui lie DE et n.
- Calculer DE. Donner le résultat en eV. Constante de Planck : h = 6,62 10-34 J.s ; 1 eV = 1,60 10-19 J

 


corrigé
Première expérience :

La lumière émise par le laser est diffracté par le fente dont la largeur est du même ordre de grandeur que la longueur d'onde l. Par analogie avec les ondes mécaniques, cette expérience prouve le caractère ondulatoire de la lumière.

L'angle q est donné par la relation : q =l/a ou demi écart angulaire correspondant à la tache centrale de diffraction.

l et a s'expriment en mètre et q en radian.

d'où d = lD/a ; en conséqence la largeur de la tache centrale " 2d= l " augmente lorsqu'on réduit la largeur "a" de la fente.

si l = 38 mm, l = 633 nm = 6,33 10-7 m et D = 3,00 m. la largeur a de la fente vaut : a = 2lD/l.

a = 2*6,33 10-7 *3,00 / 3,8 10-2 = 1,0 10-4 m.


Deuxième expérience :

La lumière émise par le laser est monochromatique : une seule couleur, une seule fréquence.

Relation entre la longueur d'onde l de l'onde émise par le laser, sa fréquence n et sa célérité c : l = c / n

ou n = c / l = 3,00 108 / 6,33 10-7 = 4,74 1014 Hz.

  1. La fréquence n est une caractéristique d'une onde: en conséquence elle reste constante quel que soit le milieu de propagation.
Limites des longueurs d'onde dans le vide du spectre visible et les couleurs correspondantes :

à la limite entre le domaine visible et les UV on trouve la couleur violette ; à la limite entre le domaine visible et les IR on trouve la couleur rouge ;

L'indice de réfraction du verre pour la fréquence n de l'onde utilisée est n = 1,61.

Le prisme de verre est un milieu dispersif : la célérité de l'onde, et en conséquence l'indice de réfraction dépendent de la fréquence ; il faut donc préciser la fréquence n de l'onde lorsqu'on donne la valeur de n.
Valeur de la longueur d'onde l' de cette onde dans le verre :

d'une part n = c/ v et d'autre part l'= v/n ; l= c/n ; d'où l'=l/n = 633 / 1,61 = 393 nm.

On remplace la lumière du laser par une lumière blanche

Sur l'écran on observe le spectre continu ( un arc en ciel) de la lumière blanche.
D'une part la déviation d augmente quand la longueur d'onde diminue et d'autre part la longueur d'onde du bleu est plus petite que la longueur d'onde du rouge : en conséquence le bleu est plus dévié que le rouge.

Transition quantique dans le laser :

La radiation de fréquence n émise par ce laser, correspond à la transition des atomes de néon d'un état d'énergie E2 à un état d'énergie inférieure E1.

DE = 6,62 10-34*4,74 1014 = 3,14 10-19 J

soit 3,14 10-19 / 1,60 10-19 = 1,96 eV.





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