Aurélie 05/06
Méthode d'Euler

d'après concours manipulateur électroradiologie médicale Nantes

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radioactivité en médecine. (6 pts)

A- partie 1 :

La radioactivité a est interdite en médecine. En effet, la radioactivité a est peu pénétrante mais très dangereuse car elle traverse la matière en l'ionisant.

Les radioactivité b- et b+, associées à l'émission g, sont utilisées soit à des fins de diagnostic, soit de thérapie.

Un exemple le phosphore32 : on l'utilise 3215 P comme traceur radioactif " béta moins" dans la détection de certaines tumeurs. Son temps de demi-vie est de 14,3 jours. Selon un schéma classique, la désintégration du phosphore 32 de type "béta moins" laisse le noyau fils dans un état excité, qui retourne à l'état normal ( niveau fondamental) en émettant un photon gamma d'une énergie de 142,7 keV. Les préparations cellulaires marquées au phosphore 32 ont une activité initiale de 5,92 1010 Bq.

  1. Quels sont les noms et les formules associées au radioactivités a, b- et b+.
  2. Ecrire les équations nucléaires associées à la désintégration du phosphore et le retour à l'état fondamental du noyau fils. Justifier.
  3. Montrer par une analyse dimensionnelle que l' "eV" est bien homogène à une énergie.
  4. Définir et calculer le défaut de masse Dm dans le noyau de phospore. En déduire l'énergie de liaison par nucléon en MeV/nucléon.
  5. Quelle est l'activité A(t1) de la préparation cellulaire à t1 = 36 h ?
  6. Déterminer la longueur d'onde dans le vide l0 associée au photon lors de la désexcitation du noyau fils. Appartient-elle au domaine visible ? Justifier.

c= 2,99 108 m/s ; h= 6,63 10-34 Js ; NA= 6,02 1023mol-1 ; e= 1,6 10-19 C ; 1eV= 1,6 10-19 J.
masses : proton mp= 1,67264 10-27 kg ; neutron : mn= 1,67493 10-27 kg ; électron : me = 9,11462 10-31 kg ; noyau de phosphore : mP= 5,30806 10-26 kg.

n° atomique : Al (Z=13) ; Si (Z=14) ; S(Z=16) ; chlore Cl(Z=17).

B- Méthode d'Euler :
Il est souvent utile de prévoir les courbes de décroissance par la méthode d'Euler, sans procéder à l'expérience. A partir de la loi de décroissance de l'activité A(t), l'équation différentielle vérifiée par l'activité A du traceur est : dA/dt + lA=0. La méthode d'Euler introduit les notation,s suivantes :

dA/dt= DA/Dt pour D t petit ; A(tn+1) =A(tn) + DA(tn) avec tn+1 = tn + Dt ( pas de résolution.

  1. Montrer que la relation de récurrence entre A(tn+1) et A(tn) peut se mettre sous la forme : A(tn+1) =(1-lDt)A(tn)
  2. A l'aide de la relation précédente calculer en MBq la valeur de l'activité à la date t= 1,5 jours et à la date 3,0 jours. Prendre Dt = 1,5 j.
  3. La validité de la méthode d'Euler est liée au choix du pas de résolution. Quels est l'intérêt et l'inconvénient du choix d'un pas de résolution égale à 12 h dans cet exemple au lieu de 1,5 j ?
corrigé
noms et formules associées au radioactivités a, b- et b+ : a, noyau d'hélium 42He ; b- : électrons 0-1e ; b+ : positon 01e.

équations nucléaires associées à la désintégration du phosphore : 3215 P -->AZ X* +0-1e

conservation de la charge : 15=Z-1 soit Z= 16 ( élément S) ; conservation du nombre de nucléons : 32=A+0

puis retour à l'état fondamental du nouyau fils : 3216 S*--->3216 S +00g.

électron volt : énergie acquise par un électron accéléré sous une tension de 1V

charge élémentaire * tension ; intensité * temps * tension ou A V s donc dimension d'une énergie.

défaut de masse Dm dans le noyau de phospore :15 protons et 32-15 = 17 neutrons

Dm = 15 mp + 17 mn - mP =15*1,67264 10-27 + 17 * 1,67493 10-27 -5,30806 10-26 =0,48281 10-27 kg.

énergie correspondante : E=Dm c² =0,48281 10-27 * (2,99 108)² =4,316 10-11 J

soit 4,316 10-11 /1,6 10-19 =2,698 108 eV = 269,8 MeV ; 269,8/32 = 8,4 MeV/nucléon.

activité A(t1) de la préparation cellulaire à t1 = 36 h = 1,5 jours : A=A0 exp(-lt) aveclt½=ln2 ; l = ln2/14,3 =4,847 10-2 j-1.

A(t1) =5,92 1010 exp(-4,847 10-2 *1,5) =5,5 1010 Bq.

longueur d'onde dans le vide l0 associée au photon lors de la désexcitation du noyau fils : l0= hc/ E

E=142,7 keV = 142,7 103*1,6 10-19 =2,283 10-14 J

l0= 6,63 10-34*2,99 108 /2,283 10-14 =8,68 10-12 m

radiation située en dehors du domaine visible donc les longueurs d'onde sont comprises entre 800 et 400 nm.

relation de récurrence entre A(tn+1) et A(tn) : A(tn+1) =A(tn) + DA(tn)

A(t)= A0 exp(-lt) soit dA(t)/dt = -lA0 exp(-lt) = -lA(t) ; DA/Dt=-lA(t) ; DA=-lA(t) Dt

A(tn+1) =A(tn) +-lA(tn) Dt =( 1-lDt )A(tn)

valeur de l'activité à la date t= 1,5 jours et à la date 3,0 jours :

A(1,5)= ( 1-lDt )A0= (1-4,847 10-2*1,5) 5,92 1010=5,4896 1010 Bq =5,49 104 MBq.

A(3 )=( 1-lDt )A(1,5) = (1-4,847 10-2*1,5) 5,49 1010 = 5,09 1010 Bq = 5,1 104 MBq

avec un pas de 12 heures on augmente la précision, mais on multiplie le nombre de calculs.

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