Aurélie 07/12/06

Chute d'une balle : viscosité ; condensateur et bobine RLC ; ondes sur une corde : d'après concours technicien équipement 2006


En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts.


. .

.
.


chute d'une balle : viscosité (8 points)

Partie 1 : chute libre dans l'air ( frottement et poussée d'Archimède négligés)

A la date t=0 la balle est abandonnée sans vitesse initiale et le centre d'inertie est en O. Le mouvement a lieu suivant l'axe vertical Oz, orienté vers le bas.

  1. Faire le bilan des forces appliquées à la balle.
  2. Etablir l'équation différentielle du mouvement du centre d'inertie de la balle. En déduire l'équation horaire du mouvement z=f(t)
  3. Déterminer le temps nécessaire pour atteindre l'abscisse z1 = 80 cm. Quelle est alors la valeur de la vitesse v1 de la balle ?

Partie 2 : chute avec frottement dans un bain d'huile.

La balle est placée dans une grande éprouvette pleine d'huile et on recommence l'expérience précédente. Les frottements sont assimilés à une force de valeur f=kv, colinéaire et de sens contraire à la vitesse où k est une constante. On obtient la courbe suivante représentant les variations de la vitesse au cours du temps :

  1. Quelle est la vitesse limite notée vL ? Au bout de combien de temps est-elle atteinte ?
  2. Montrer que la vitesse vérifie l'équation différentielle dv/dt + av = b avec a et b constantes que l'on exprimera en fonction de m, k, g, R et rhuile. Calculer a et b.
  3. Vérifier que v(t) = vL(1-exp(-at)) est solution de cette équation différentielle. Calculer vL et la comparer à la valeur déterminée sur le graphique.

Partie 3 : détermination du coefficient de viscosité.

Pour des vitesses faibles la valeur de la force de frottement est f = 6phR v où h est le coefficient de viscosité de l'huile.

  1. Quelle est l'influence de h sur vL ?
  2. Exprimer h en fonction de vL, g, R et rhuile. Calculer h.
  3. Retrouver le résultat précédent en calculant h à partir de k.
    masse de la balle m= 36,0 g ; rayon de la balle R= 2,0 cm ; volume de la balle V= 4/3
    pR3 ; g= 9,81 m/s² ; rhuile = 0,900 g/mL ; k= 0,136 kg s-1.

 


corrigé
Partie 1 : chute libre dans l'air ( frottement et poussée d'Archimède négligés)

A la date t=0 la balle est abandonnée sans vitesse initiale et le centre d'inertie est en O. Le mouvement a lieu suivant l'axe vertical Oz, orienté vers le bas.

Bilan des forces appliquées à la balle :

La chute étant libre, la balle n'est soumise qu'à son poids, vertical, vers le bas, valeur mg.

Equation différentielle du mouvement du centre d'inertie de la balle :

La seconde loi de Newton s'écrit, sur l'axe z : mg = md²z/dt² ; d²z/dt² = g.

Equation horaire du mouvement z=f(t) :

la vitesse est une primitive de l'accélération : v(t) = gt + v0 avec v0 = 0 dans ce cas.

l'abscisse est une primitive de la vitesse : z(t) = ½gt²+ h0 avec h0 = 0 dans ce cas.

Temps nécessaire pour atteindre l'abscisse z1 = 80 cm = 0,8 m

t²= 2z1 / g = 1,6 / 9,81 = 0,163 ; t = 0,40 s.

Valeur de la vitesse v1 de la balle : v1 = 9,81*0,40 = 3,96 ( 4,0 m/s)


Partie 2 : chute avec frottement dans un bain d'huile.

La balle est placée dans une grande éprouvette pleine d'huile et on recommence l'expérience précédente. Les frottements sont assimilés à une force de valeur f=kv, colinéaire et de sens contraire à la vitesse où k est une constante. On obtient la courbe suivante représentant les variations de la vitesse au cours du temps :

La vitesse limite notée vL vaut 0,42 m/s d'après le graphe. Elle est atteinte à t = 1 s.

Equation différentielle vérifiée par la vitesse :

Ecrire la seconde loi de Newton sur l'axe Oz, vertical, orienté vers le bas :

P-F-Pa = md²z/dt² = mdv/dt

P= mg ; F= kv ; Pa = rhuilegV avec V : volume de la balle V = 4/3*3,14 * 23 = 33,5 mL

mg - kv - rhuilegV = dv/dt ; dv/dt + k/ m v = g(1- rhuileV/m)

dv/dt + av = b avec a et b constantes

a = k/m = 0,136 / 36 10-3 = 3,8 s-1.

b= g(1- rhuileV/m)= 9,81(1-0,9*33,5 / 36) = 1,6 m s-2.

Vérifions que v(t) = vL(1-exp(-at)) est solution de cette équation différentielle :

dv/dt = vLaexp(-at) puis repport dans l'équation différentielle.

vLaexp(-at) + avL(1-exp(-at)) = avL

Or lorsque la vitesse limite est atteinte , dv/dt = 0 soit avL = b

d'où vLaexp(-at) + avL(1-exp(-at)) = b

Calcul de vL : vL = b / a =1,6 / 3,8 = 0,42 m/s, en accord avec la valeur lue sur le graphique.


Partie 3 : détermination du coefficient de viscosité.

Pour des vitesses faibles la valeur de la force de frottement est f = 6phR v où h est le coefficient de viscosité de l'huile.

Influence de h sur vL :

si la viscosité augmente, la force de frottement augmente et la vitesse limite est plus rapidement atteinte.

De plus vL = b / a =g(m- rhuileV) /k = g(m- rhuileV) / (6phR)

si la viscosité augmente, la vitesse limite diminue.

Expression de h en fonction de vL, g, R et rhuile :

vL =g(m- rhuileV) / (6phR) ; h = g(m- rhuileV) / (6pvLR)

Calcul de h = (36-0,9*33,5)10-3*9,81 /(0,42*6*3,14 *0,02) = 0,36 kg m-1 s-1.

Retrouver le résultat précédent en calculant h à partir de k :

k = 6phR = 0,136 d'où : h =0,136 / (6pR) = 0,136 / (6*3,14*0,02 )= 0,36 kg m-1 s-1.





RLC : (7 points)

 

Partie 1 : résistance négligeable

Le condensateur de capacité C= 0,1 mF est chargé sous une tension U0 = 12 V. La charge étant terminée, à la date t=0 on décharge le condensateur dans une bobine d'inductance L= 1,0 H, de résistance négligeable. La résistances des fils de jonction est aussi négligeable.

  1. Dans quelle position doit-on fermer l'interupteur pour charger le condensateur ? Quelle est l'énergie stockée en fin de charge ?
  2. Que fait-on à la date t=0 pour décharger le condensateur dans la bobine ?
  3. Ecrire l'équation différentielle vérifiée par uc(t).
  4. Vérifier que uc(t) = U0 cos (2pt/T) est solution de cette équation. En déduire l'expression de T en fonction des données.
    - Quelle nom donne t-on à T ? Vérifier que T est homogène à un temps et calculer T.
  5. On visualise la tension uc(t) à l'aide d'un oscilloscope à mémoire. ( sensibilités : 1 ms/div ; 5V/div)
    - Représenter les branchements de l'oscilloscope, l'oscillogramme obtenu.
  6. Donner les expressions des énergies EC et EL emmagasinées respectivement dans le condensateur et dans la bobine à chaque instant.
    - Montrer que l'énergie totale E= EC+EL se conserve.

Partie 2 : étude du circuit réel.

L'étude du circuit laisse apparaître un amortissement.

  1. Comment cet amortissement se répercute t-il sur le graphereprésentant uc(t) ? A quoi est-il dû ?
  2. La courbe EC(t) donne les variations de l'énergie emmagasinnée dans le condensateur en fonction du temps. Indiquer les échelles sur les axes.
    -Tracer de deux couleurs différentes l'allure des courbes EL(t) et E(t).

corrigé
Partie 1 : résistance négligeable

Le condensateur de capacité C= 0,1 mF est chargé sous une tension U0 = 12 V. La charge étant terminée, à la date t=0 on décharge le condensateur dans une bobine d'inductance L= 1,0 H, de résistance négligeable. La résistances des fils de jonction est aussi négligeable.

On ferme l'interupteur en position 1 pour charger le condensateur.

En fin de charge la tension aux bornes du condensateur est U0 ; l'énergie stockée est EC= ½CU0².

A la date t=0, pour décharger le condensateur dans la bobine, on bascule l'interrupteur en position 2.

Equation différentielle vérifiée par uc(t) :

tension aux bornes de la bobine Ldi/dt avec i = dq/dt ; di/dt = d²q/dt²

de plus q= Cuc(t) d'où d²q/dt² = Cd²uc/dt²

additivité des tensions uc(t) + Ldi/dt = 0 ; uc(t) + LCd²uc/dt² = 0.

Vérifions que uc(t) = U0 cos (2pt/T) est solution de cette équation :

dériver : duc(t) /dt = U02p/T (-sin (2pt/T))

dériver une seconde fois : d²uc/dt² = - U0(2p/T)² cos (2pt/T)

repport dans l'équation différentielle : U0 cos (2pt/T) - LCU0(2p/T)² cos (2pt/T) =0

expression vérifiée quel que soit t si LC(2p/T)² = 1.

Expression de T, période :

T² = 4p²LC soit T =2p (LC)½.
Vérifions que T est homogène à un temps : 2p est sans dimension

EL= ½LI² soit L = 2EL/I² ; L a la dimension d'une énergie divisée par une intensité au carré

EC= ½CU² soit C = 2EC/ U² ; C a la dimension d'une énergie divisée par une tension au carré.

(LC)½ a la dimension d'une énergie divisée par le produit ( intensité fois tension)

or une intensité fois une tension est une puissance, ou encore une énergie divisée par un temps.

en conséquence (LC)½ a la dimension d'un temps.

Calcul de T : 2*3,14 ( 1*10-7)½ = 1,98 10-3 s ( 2,0 10-3 s)

On visualise la tension uc(t) à l'aide d'un oscilloscope à mémoire. ( sensibilités : 1 ms/div ; 5V/div)

Expressions des énergies EC et EL emmagasinées respectivement dans le condensateur et dans la bobine à chaque instant :

EC = ½Cu² = ½CU20 cos2 (2pt/T)

EL = ½Li² avec i (t) = dq/dt = C duc/dt = CU02p/T (-sin (2pt/T)

EL = ½LC2U20 (2p/T)2sin2 (2pt/T)

or (2p/T)2 =1/(LC) d'où : EL = ½CU20sin2 (2pt/T)

Energie totale E= EC+EL = ½CU20 cos2 (2pt/T) + ½CU20sin2 (2pt/T) = ½CU20[cos2 (2pt/T)+sin2 (2pt/T)]= ½CU20 = constante.

E = 0,5* 10-7*12² = 7,2 mJ


Partie 2 : étude du circuit réel.

L'étude du circuit laisse apparaître un amortissement.

Cet amortissement se répercute sur le graphe représentant uc(t) : l'amplitude de la tension diminue au cours du temps

Une partie de l'énergie est dissipée sous forme de chaleur ( effet joule) lors des échanges d'énergie entre condensateur et bobine.

Les énergies sont proportionnelles soit au carré du cosinus ou du sinus : donc leur période est ½T.



Propagation d'une onde le long d'une corde :

Partie 1 : propagation d'une perturbation

Une longue corde élastique de longueur L=SF= 6,0 m est initialement reposée sur le sol horizontal. La corde est légèrement tendue : le point F est fixe, le point S à l'autre extrémité est tenu à la main par un opérateur qui cré à la date t=0s, une perturbation en déplaçant rapidement le point S horizontalement dans la direction perpendiculaire à la corde, puis en la ramenant aussitôt à sa position initiale. La durée de cette perturbation est Dt = 0,50 s.

On représente les aspects de la corde à deux dates différentes :

 

  1. Comment nomme t-on l'onde qui prend naissance après cette perturbation ?
  2. Cette onde est-elle transversale ou longitudinale ?
  3. Comparer les deux figures ci-dessus et en déduire la célérité de l'onde
    - Représenter la corde à t=3,0 s.
  4. Représenter l'allure de la fonction zS(t) donnant les variations de l'abscisse zS du point S en fonction du temps.
  5. Soit A un point de la corde tel que SA= 2,0 m. Que peut-on dire du mouvement du point A par rapport au mouvement de S ? Calculer le ratard de A sur S.

Partie 2 : influence de quelques paramètres.

  1. L'oprérateur recommence l'expérience, dans les mêmes conditions, mais avec un geste plus lent : Dt'= 0,70 s. La célérité de l'onde est-elle modifiée ? Si oui, comment ?
  2. On rappelle que la célérité d'une onde se déplaçant le long d'une corde est donnée par v= (T/m)½ où T représente la tension de la corde en newton et m la masse linéique en kg m-1.
    - L'oprérateur recommence l'expérience, avec une perturbation de même durée mais en doublant la tension de la corde. La célérité de l'onde est-elle modifiée ? Si oui, comment ?
    - Calculer la masse linéique de la corde. La célérité est-elle modifiée si on utilise, dans les mêmes conditions que dans l'expérience de la partie1, une corde de même longueur mais de masse deux fois plus élevée ? Si oui, comment ?
    Masse de la corde m = 300 g.

corrigé
Partie 1 :

L''onde qui prend naissance après cette perturbation est une onde progressive transversale : sa direction de propagation est perpendiculaire à la direction de la déformation.

Célérité de l'onde :

d'après les graphes, en 0,5 s la perturbation parcours 0,8 m d'où v= 0,8/0,5 = 1,6 m/s.

Soit A un point de la corde tel que SA= 2,0 m. Le mouvement du point A reproduit le mouvement de la source avec le retard q = AS/v = 2/1,6 = 1,25 s.


Partie 2 : influence de quelques paramètres.

L'oprérateur recommence l'expérience, dans les mêmes conditions, mais avec un geste plus lent : Dt'= 0,70 s.

La célérité de l'onde n' est pas modifiée : elle dépend des caractéristiques du milieu de propagation.

On rappelle que la célérité d'une onde se déplaçant le long d'une corde est donnée par v= (T/m)½ où T représente la tension de la corde en newton et m la masse linéique en kg m-1.
L'oprérateur recommence l'expérience, avec une perturbation de même durée mais en doublant la tension de la corde.

La célérité de l'onde est modifiée : la célérité est proportionnelle à la racine carrée de la tension T ; si la tension double, la célérité est multipliée par 2½.

Calcul de la masse linéique de la corde :

m = masse (kg) / longueur (m) =0,3 / 6 = 5,0 10-2 kg m-1.

La célérité est modifiée si on utilise, dans les mêmes conditions que dans l'expérience de la partie1, une corde de même longueur mais de masse deux fois plus élevée : la célérité est inversement proportionnelle à la racine carrée de la masse linéique ; si la masse linéique double, la célérité est divisée par 2½.



retour -menu