Aurélie 3/6

 

Théorème de l'énergie cinétique ( mécanique )

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I- Un solide (S) de masse m = 5 kg est mobile sur des rails ABC situés dans un plan vertical. AB= 4,0 m ; BD est un arc de cercle de rayon R = 10 m. (S) est initialement immobile en A. On exerce entre A et B, sur (S), une force F parallèle à AB et de valeur constante constante . Le solide monte jusqu’en D puis revient en arrière. H= 3 m ; g = 9,8 m s–2. Les frottements sont néglileables.

 

  1. Exprimer puis calculer la vitesse de (S) en B.
  2. Exprimer puis calculer la valeur de F.
  3. Exprimer puis calculer la vitesse de (S) en C. ( h = 1,5 m). Montrer que la vitesse en C est la même à l’aller et au retour.
  4. Déterminer l'action R du support au point C.
  5. Au point D le solide peut-il être en équilibre ?
  6. Comparer la durée des trajets AB et BA.

II- Les frottements ne sont plus négligés. La valeur f des frottements est constante. Le solide s'arrète au retour en B.

  1. Exprimer puis calculer f et F.
  2. Comparer à l’aller et au retour :
    - les valeurs de la vitesse en un point quelconque de l’arc BD
    - la durée des trajets BC et CB.

III On exerce sur le solide (S) une force F' plus faible ; ce dernier atteint D puis s'arrète, au retour, à une hauteur h' = 0,5 m. Justifier ce comportement du solide.

corrigé

théorème de l’énergie cinétique :

de B en D : R, perpendiculaire à la vitesse ne travaille pas. Le travail du poids est résistant ( montée) et vaut : WP= - mgH

L'énergie cinétique en D est nulle ( arrêt) ; l'énergie cinétique en B vaut : ½mv² ( v : vitesse en B)

La variation de l'énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces appliquées au solide : 0-½mv² = -mgH

v²= 2gH = 2*9,8 * 3 = 58,8 ; v = 7,7 m/s.

de A en B : les forces R et P perpendiculaires à la vitesse, ne travaillent pas. Le travail de la force F vaut WF=F AB.

L'énergie cinétique en A est nulle ( arrêt) ; l'énergie cinétique en B vaut : ½mv² ( v : vitesse en B)

La variation de l'énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces appliquées au solide : ½mv² -0= F AB

F= mv²/(2AB) = 5*7,7² / 8 = 36,7 N.

vitesse de (S) en C :

de B en C : R, perpendiculaire à la vitesse ne travaille pas. Le travail du poids est résistant ( montée) et vaut : WP= - mgh

L'énergie cinétique en C vaut ½mv²C ; l'énergie cinétique en B vaut : ½mv² ( v : vitesse en B)

La variation de l'énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces appliquées au solide : ½mv²C -½mv² = -mgh

v²C = v² -2gh = 58,8 -2*9,8*1,5 =29,4 ; vC = 5,4 m/s.

L'expression de cette vitesse indique que vC ne dépend que de la vitesse en B et de l'altitude h, peut importe le sens du parcours.

ou bien appliquer le théorème de l’énergie cinétique entre les deux passages du solide en M situé sur l'arc BD à l'aller puis au retour :

R ne travaille pas ; le travail du poids est nul ( au même point la différence d'altitude est nulle). Donc l'énergie cinétique, par suite la valeur de la vitesse ne change pas à l’aller et au retour.

action R du support au point C :

Ecrire la seconde loi de Newton sur un axe normal à la trajectoire et dirigé vers O :

R est centripète, dirigée vers O et sa valeur est : R= m[v²C/OC + g cosq]

cos q = (OB-h) / OB = (10 -1,5) / 10 = 0,85 ; q = 31,8°.

R= 5(29,4/10+9,8 * 0,85)= 56,3 N.

Au point D le solide ne peut pas être en équilibre : la somme vectorielle des forces n'est pas nulle. durée des parcours AB et BA :

AB : écrire la seconde loi de Newton : F=ma soit a = F/m = constante ; vitesse initiale nulle :

AB=½at² = ½F/mt² soit t² = 2AB m/F = 8*5/36,7 =117,4 ; t = 1,1 s.

BA : solide pseudo-isolé , donc mouvement rectiligne uniforme . AB = vt soit t = AB/v = 4/7,7=0,52 s.

Les frottements ne sont plus négligés. La valeur f des frottements est constante. Le solide s'arrète au retour en B.

Exprimer puis calculer f et F : théorème de l’énergie cinétique :

de D en B : R, perpendiculaire à la vitesse ne travaille pas. Le travail du poids est moteur ( descente) et vaut : WP= mgH

Le travail de f ( résistant) vaut : Wf= -f *longueur de l'arc de cercle DB = -f OC q (q en radian )

cos q = (OB-H) / OB = (10 -3) / 10 = 0,7 ; q = 0,795 rad.

L'énergie cinétique en D est nulle ( arrêt) ; l'énergie cinétique en B est nulle ( arrêt)

La variation de l'énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces appliquées au solide :

0-0= mgH - f *OC q d'où f = mgH /(OC q ) = 5*9,8*3/(10*0,795)= 18,5 N.

sur le trajet complet : R, perpendiculaire à la vitesse ne travaille pas. Le poids ne travaille pas ( altitude identique au départ A et à l'arrivée B)

Le travail de f ( résistant) vaut : Wf= -f (AB+2OC q ) ; le travail de F vaut WF=F AB

L'énergie cinétique en A est nulle ( arrêt) ; l'énergie cinétique en B est nulle ( arrêt)

0-0 = -f (AB+2OC q ) + F AB soit F= f (AB+2OC q ) /AB = 18,5(4+20*0,795) / 4 = 92 N.

Comparer à l’aller et au retour :
- les valeurs de la vitesse en un point quelconque de l’arc BD

appliquer le théorème de l’énergie cinétique entre les deux passages du solide en M situé sur l'arc BD à l'aller puis au retour :

R ne travaille pas ; le travail du poids est nul ( au même point la différence d'altitude est nulle). Le travail des frottements est négatif, donc la vitesse diminue : la vitesse au retour est plus petite qu’à l’aller.


- la durée des trajets BC et CB :

La vitesse est plus faible au retour, donc la durée du retour est plus grande que celle de l’aller.

Le solide s'arrête au retour sur l'arc de cercle lorsque la somme vectorielle des forces est nulle.

L'angle q1 vaut alors : cos q1 = (OB-h') / OB = (10-0,5) / 10 = 0,95 ; q1 = 0,318 rad.

A la descente le travail du poids est moteur. La force motrice est mg sin q1 = 5*9,8*0,312 = 15,3 N, valeur insuffisante pour vaincre les frottements ( 18,5 N).

Pa r contre la force motrice en D vaut : mg sin q = 5*9,8 *0,714 =35 N valeur suffisante pour vaincre les frottements : le mobile ne reste pas en D.

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