Aurélie 02/06

 

Création de vagues dans une piscine ( concours Mines 03 )

oscillations forcées

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En faisant osciller verticalement à un gros corps de masse M immergé, on crée des vagues dans une piscine.

Masse volumique du corps : r ; masse volumique de l'eau : reau. volume du corps V.

Le corps est suspendu à un ressort de raideur k, de longueur à vide L0. L'autre extrémité du ressort est accrochée à un point A.

  1. Ecrire la condition d'équilibre du corps de masse M.
  2. On étudie les oscillations du corps. Ecrire l'équation différentielle vérifiée par z ( altitude du centre d'inertie du corps) en fonction du temps t. Exprimer pulsation propre w0 en fonction de k et M de cet oscillateur. Les frottements sont négligés.
  3. Il existe une force de frottement visqueux, colinéaire à la vitesse, de sens contraire, de valeur lv, exercée par l'eau sur le corps. Ecrire la nouvelle équation différentielle vérifiée par z(t). Donner l'allure du graphe z(t) dans le cas d'un amortissement faible. Les conditions initiales sont : à t = 0, z =A , vitesse initiale nulle.
  4. On impose à l'extrémité A du ressort, un mouvement vertical sinusoïdal zA(t) = ZAm cos(wt) centré sur la position de A précédente. Ecrire l'équation différentielle vérifiée par z(t).
    - En utilisant la notation complexe, calculer l'amplitude Zm des oscillations du corps M. Faire apparaître : x= w /w0 ; t= M/l ; Q= w0 t.
  5. On désire que Zm > 3 ZAm . Quelle est la valeur approximative de Q ?
  6. Si Q = 4, quelles sont les valeurs de w pour que Zm > 3ZAm ? ( ce qui permet d'obtenir des vagues de grandes amplitudes)

corrigé
référentiel terrestre supposé galiléen.

Le corps immergé est soumis à :

son poids, vertical, vers le bas, valeur P=Mg avec M = rV ; P= rgV

la poussée d'Archimède, verticale, vers le haut, valeur : F= reaugV

la tension du ressort, verticale, vers le haut : T= k(L-L0)

A l'équilibre la somme vectorielle de ces trois forces est nulle : k(L-L0) +reaugV -rgV =0.(1)

On choisit un axe vertical, orienté vers le bas. L'altitude du centre d'inertie du corps, dans la position d'équilibre, est choisie comme origine.

Ecrire la deuxième loi de Newton sur cet axe : Mg-k (L+z -L0) -reaugV = M z" ; M= rV

rgV -k (L -L0) -reaugV -k z = M z" ;

en tenant compte de (1) : z" + k/M z = 0 on pose w20 = k/M ( w0 : pulsation en rad/s)

Dans le cas d'une force de frottement fluide, l'équation différentielle s'écrit : z" + l/M z'+ k/M z = 0

Oscillations forcées :

tension du ressort T= k( L-L0+ a-zA)

ce qui revient à ajouter le terme k/M zA =w20 zA au second membre de l'équation différentielle précédente

d'où : z" + l/M z'+ k/M z = w20 ZAm cos(wt)

les grandeurs soulignées sont des nombres complexes

On note z = Zm ejwt ; z' = jZm wejwt =j wz ; z'' = -Zm w2ejwt = - w2z ; l'équation précédente s'écrit :

- w2z + l/M j wz + k/Mz = w20 ZAmejwt avec w20 = k/M

z ( w20- w2 +j lw/M) =w20ZAm ; z =w20ZAm / ( w20- w2 +j lw/M)

diviser par w20 numérateur et dénominateur : z =ZAm / [ ( 1- w2/w20 ) +j lw/(w20M)]

Or x= w /w0 ; t= M/l ; Q= w0 t.

z =ZAm / [ ( 1- x2 ) +j x/Q]

module de z : |z| = ZAm/[( 1- x2 )2+( x/Q)2]½.

|z| / ZAm = 1/[( 1- x2 )2+( x/Q)2]½.

|z| / ZAm >3 donne ( 1- x2 )2+( x/Q)2 < 9

La résonnance est la plus importante quand x est voisin de 1 d'où : 1/Q²<9 soit Q>3.

Si Q= 4 : résoudre ( 1- x2 )2+( x2/16=1/9

Poser X=x2 : (1-X)²+ X/16 = 1,9 ; X² -2X+1 +X/16 = 1/9 ; X²-31/16X+8/9 =0

Les racines positives sont : 1,191 et 0,746 d'où les valeurs de x : 0,864 et 1,092.

0,864 < w /w0 <1,092.

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