Aurélie 14/05/07
 

concours Esiee lancer vertical ; 3ème loi de Kepler ; radioactivité. 2007

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On lance d'une altitude h une masse m supposée ponctuelle avec une vitesse initiale v0 verticale vers le haut. On néglige tout frottement. L'accélération de pesanteur est prise égale à 10 m/s². Entre l'instant du lancer et l'arrivée au sol, 2 s s'écoulent.

h = 1,8 m ; m = 200 g ; v0 = 6 m/s.

A- L'altitude maximale atteinte est 3,6 m. Vrai.

On choisit un axe vertical orienté vers le haut dont l'origine est prise au sol.

v (t) = -gt + v0 ; y(t) = -½gt2+v0t+h.

v(t) = -10 t +6 ; y(t) = -5t2+6t+1,8.

A l'altitude maximale la vitesse est nulle : 0 = -10 t + 6 soit t = 0,6 s.

repport dans y(t) : ymax = -5*0,62 + 6*0,6+1,8 = 3,6 m.

B- m met 0,6 s pour atteindre l'altitude maximale. Vrai.

C- m repasse par sa position initiale 1,2 s après son lancement. Vrai.

y= h conduit à : 1,8 = -5t2+6t +1,8 ; -5t2+6t =0 soit t = 0 et t = 1,2 s.

D- m atteint le sol 1,8 s après son lancement. Faux.

0 = -5t2+6t+1,8. la résolution donne t = 1,45 s.

E- m atteint le sol avec une vitesse de 12 m/s. Faux.

v = -10 t +6 = -10 *1,45+6 = -8,5 m/s.

Le signe moins signifie que le vecteur vitesse est en sens contraire de l'axe.

P-a, P-b, P-c sont trois planètes satellites d'un astre A.Leur orbite est circulaire.

Le tableau ci-dessous donne certaines valeurs approchées des grandeurs suivantes :

- R et M, respectivement le rayon et la masse des planètes ou de l'astre, supposés sphériques homogènes.

- Le champ de gravitation à la surface de ces corps.

- T et d, respectivement la période de révolution et le rayon des orbites des planètes autour de A.

Les planètes n'interagissent pas entre elles.
R(m)
M(kg)
g(m/s²)
T(s)
d(m)
P-a
2 107/3
2 1025/3



1,5 1011
P-b


3 1027
5/4
4 *3½ 108


P-c
107/3
1024/3
2
9 *2½ 1011/2
3 1031/3
A
2 109/3


1,5 105
xxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxx
A- R(P-b) = 4 108 m. Vrai.

gB= MBG/RB2 ; RB2 =MBG/gB=3 1027*6,67 10-11 *4/5 =3*6,67*4 1016 /5 =16 1016 ; RB =4 108 m.

B- M(A) = 1031 kg. Vrai.

3éme loi de Kepler : T2/d3 = 4p2/(GM) ;

dans le cas de P-c : T2/d3 =81*2 1011 / 27 1031 =6 10-20.

4p2/(GM) = 6 10-20 soit M = 4p2/(G*6 10-20 )= 4*10 / (6,67 10-11 * 6 10-20 ) = 40 1031 / (6,67*6) = 1031 kg.

C- g à la surface de P-a vaut 10 m/s². Vrai.

gA= MAG/RA2 = 2 1025/3 * 6,67 10-11 / (2 107/3)2 = 2*3*6,67 1014 / (4 1014) =3*6,67 / 2 = 10m/s2.

D- T(P-a) = 45 1011/2 s. Vrai.

dans le cas de P-a : T2/d3 =6 10-20 ; T2= 6 10-20 * d3 = 6 10-20 *(1,5 1011)3=9*1,52 1013 ;

T = 3*1,5 1013/2 = 4,5 1013/2 = 45 10 11/2 s.

E- d(P-b) = 2 1012 m. Vrai.

dans le cas de P-b : T2/d3 =6 10-20 ; d3 = T2/ 6 10-20 = 16*3 1016/6 10-20 =8 1036 ; d = 2 1012 m.

La masse m est attachée à l'extrémité d'un ressort sans masse. L'autre extrémité est fixée en O à un support immobile. On plonge la masse dans un fluide de masse volumique constante.

A l'instant t=0 on lâche m sans vitesse initiale d'une position telle que m acquiert un mouvement pseudo-périodique en restant constamment dans le fluide.

La bille est soumise à son poids, à la force de rappel du resort, à la poussée d'Archimède et à une force de frottement fluide du type -fv où f est une constante et v le vecteur vitesse à l'instant t.
A- La vitesse de la bille tend vers une valeur limite non nulle. Faux.

La bille va finir par s'immobiliser à la position d'équilibre.

B- La force de rappel et la poussée d'Archimède sont toujours de sens opposé. Faux.

C- La force de rappel et la force de frottement sont toujours de sens opposé. Faux.

D- La poussée d'Archimède varie au cours du temps. Faux.

poussée = volume immergé * masse volumique du liquide * accélération de la pesanteur

E- Les vecteurs accélération et vitesse sont toujours de même sens. Faux.

A- Une réaction nucléaire de type a à partir de noyaux A1Z1X1 donne un isotope de A1Z1X1. Faux.

Isotopes : même numéro atomique Z ; nombre de neutrons différents.

A1Z1X1 ---> AZX1 + 42He

La conservation de la charge implique : Z+2 = Z1.

B- Une réaction nucléaire de type b+ à partir de noyaux A1Z1X1 donne un isotope de A1Z1X1. Faux.

A1Z1X1 ---> AZX1 + 01e

La conservation de la charge implique : Z+1 = Z1.

C- Une réaction nucléaire de type b- à partir de noyaux A1Z1X1 donne un isotope de A1Z1X1. Faux.

A1Z1X1 ---> AZX1 + 0-1e

La conservation de la charge implique : Z-1 = Z1.

22286Rn aboutit au 20682Pb par émissions de :

D- 4a et 4 b- . Vrai.

Le nombre de nucléons diminue de 222-206 = 16 ; à chaque désintégration de type a, le nombre de nucléons diminue de 4 : donc 4a.

Le nombre de charge diminue de 86-82 = 4 ; à chaque désintégration de type b-, le nombre de charge augmente de 1 ;

à chaque désintégration de type a, le nombre de charge diminue de 2 : 4a donc diminution de 8

donc 4b-.

E- 8a et 12 b- . Faux.

 

Le 1er, le 11, le 21 et le 31 mai 2006, Max consomme à midi, une même quantité d'un aliment contenant un élément radioactif X dont l'évolution de l'activité A en fonction du temps est donnée ci-contre. On suppose que l'élément se fixe dans l'organisme. Le jour de sa consommation, l'activité de cet élément est 20 Bq. ln2 = 0,7.
 A- Le 6 mai vers midi, l'organisme de Max contient 8,6 105 + ou - 104 noyaux radioactifs. Faux.

Le graphe indique que le temps de demi-vie est t½ = 5 jours =5*24*3600 = 4,32 105 s.

La constante radioactive vaut l = ln2 / t½ = 0,7 / 4,32 105 s-1.

L'activité , le 6 mai à midi vaut :10 Bq.

N = A/l = 10/0,7*4,32 105= 6,17 106 noyaux radioactifs.

B- Le 6 mai 2006, il y a 10 désintégrations. Faux.

Le 6 mai à midi l'activité vaut 10 Bq, soit en moyenne 10 désintégrations par seconde.

L'activité de l'élément X dans l'organisme de Max est de :

C- 12,5 Bq le 16 mai à midi. Vrai.

15 jours ( 3 t½) après la première prise, l'activité due à cette prise vaut : 20/23 = 2,5 Bq( lecture graphe).

5 jours après la seconde prise, l'activité due à cette prise vaut : 10 Bq ( lecture graphe).

D- 6,25 Bq le 26 mai à midi. Faux.

25 jours ( 5 t½) après la première prise, l'activité due à cette prise vaut : 20/25 = 0,625 Bq.

15 jours après la seconde prise, l'activité due à cette prise vaut : 2,5 Bq ( lecture graphe).

5 jours après la troisième prise, l'activité due à cette prise vaut : 10 Bq ( lecture graphe).

Total :13,1 Bq

E- L'activité de l'élément X dans l'organisme de Max le 31 mai 2006 juste après 12 h est voisine de celle du 21 mai 2006 juste après 12 h. Vrai.

Le 31 mai après 12 H :

30 jours ( 6 t½) après la première prise, l'activité due à cette prise vaut : 20/26 = 0,31 Bq.

20 jours après la seconde prise, l'activité due à cette prise vaut : 1,25 Bq ( lecture graphe).

10 jours après la troisième prise, l'activité due à cette prise vaut : 5 Bq ( lecture graphe).

activité due à la 4 ème prise : 20 Bq. Total : 26,55 Bq.

Le 21 mai après 12 H :

20 jours ( 4 t½) après la première prise, l'activité due à cette prise vaut : 20/24 = 1,25 Bq.

10 jours après la seconde prise, l'activité due à cette prise vaut : 5 Bq ( lecture graphe).

après la troisième prise, l'activité due à cette prise vaut : 20 Bq ( lecture graphe).

Total : 26,25 Bq.

On considère la réaction A : 11H + 31H = 42He et la réaction B : 21H + 31H = 42He +10n

On donne m(11H) = 1,011 u ; m(21H) = 2,013 u ; m(31H) = 3,015 u ; m(10n) = 1,009 u ; m(42He) = 4,001 u ;

1 u = 5/3 10-27 kg ; 1 eV = 5/3 10-19 J ; c = 3 108 m/s.

A- Les deux réactions sont des fusions nucléaires. Vrai.

B- 31H et 42He sont des isotopes. Faux.

Deux isotopes ont le même numéro atomique et des nombres de neutrons différents.

C- La réaction B libère 2,7 10-12 J. Vrai.

Dm = m(42He) + m(10n) -m(31H) -m(21H) =4,001+1,009-3,015-2,013 = -0,018 u.

Dm = -0,018*5/3 10-27 = -3 10-29 kg.

DE =Dm c2 = -3 10-29 *9 1016 = -27 10-13 = -2,7 10-12 J

D- La réaction A libère 22,5 MeV. Vrai.

Dm = m(42He) -m(31H) -m(11H) =4,001-3,015-1,011 = -0,025 u.

Dm = -0,025*5/3 10-27 = -4,17 10-29 kg.

DE =Dm c2 = -4,17 10-29 *9 1016 = -27 10-13 = -3,75 10-12 J

-3,75 10-12 *3/5 10-19 =-2,25 107 eV = -22,5 MeV.

E- Les deux réactions ont le même défaut de masse. Faux.
 

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