thermodynamique : gaz parfait ; thermomètre à gaz concours ITPE ( travaux publics) interne 2003

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Un thermomètre à gaz se compose d'une ampoule A de volume invariable V= 2 L, contenant du dihydrogène, et communiquant avec un tube en U.

Le diamètre intérieur du tube est très petit, et l'on admet que les variations de niveau du mercure ne modifient pas le volume du gaz enfermé dans l'appareil.

L'ampoule A est enfermée à l'intérirur d'un four.

Lorsque le four est froid, c'est à dire à la température du laboratoire t₁=20°C, le niveau du mercure dans la branche 1 est à la hauteur h₁=50 cm au dessus du niveau du mercure dans la branche 2.

On donne pour le mercure r g= 13,6 10⁴ SI ; P_atm = 1 bar.

Quelle est la pression de l'hydrogène dans A à la température t1 ? Le gaz dans l'ampoule est en dépression. La différence de pression par rapport au laboratopire vaut : DP= r g h1 DP= 13,6 104 *0,5 = 6,8 104 Pa Pression de H2 dans l'ampoule : P1= 105 - 6,8 104 =3,2 104 Pa.

Quelle doit être la température du four pour que le niveau du mercure soit le même dans les deux tubes ?

La pression de H₂ dans A vaut P₂=10⁵ Pa.

P₂ V = nRT₂ ; P₁ V = nRT₁ ; T₂=P₂T₁ / P₁.

T₂ =10⁵ *293 / 3,2 10⁴ = 916 K. (643 °C)

Quelle est alors la température du four ?

Le gaz dans l'ampoule est en surpression.

DP= 13,6 10⁴ *0,5 = 6,8 10⁴ Pa

Pression de H₂ dans l'ampoule :

P₃= 10⁵ + 6,8 10⁴ =1,68 10⁵ Pa.

T₃=P₃T₁ / P₁.

T₃ =1,6810⁵ *293 / 3,2 10⁴ = 1538 K. (1265 °C)

On désigne par x la dénivellation du mercure entre les deux branches, cette grandeur étant positive lorsque le mercure est plus haut dans la branche2 et négative lorsque le mercure est plus haut dans la branche 1. La hauteur x varie dans l'intervalle [-0,5 m ; 0,5 m]

Etablir la relation t=f(x) donnant la température du four en fonction de la dénivellation mesurée.

Pression du gaz dans l'ampoule :

P = 10⁵ + r g x = 10⁵ + 13,6 10⁴ x

P = P₁/T₁ T = 3,2 10⁴ / 293 T = 109,2 T

T= 273 + t avec t en °C et T en K.

d'où : 109,2 (273+t) = 10⁵ + 13,6 10⁴ x

273+t = 10⁵ / 109,2 + 13,6 10⁴ / 109,2x

273+t = 916 + 1245 x

t = 643 +1245 x.