Agrégation interne 2006 : effet Zeeman

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Dans le modèle de l'atome de Thomson de l'atome d'hydrogène, le mouvement de l'électron en absence de champ extérieur est celui d'un oscillateur harmonique de pulsation w₀. On considère maintenant une situation où l'atome est placé dans un champ magnétique uniforme constant B₀ à l'instant t=0. On utilise un système de coordonnées ayant pour origine le centre O du noyau. L'axe Oz est tel que B₀ = B₀e_z. L'électron est repéré par le vecteur OM=r e_r.

On suppose qu'avant d'appliquer B₀ l'électron est sur une orbite circulaire de rayon a dont l'axe forme un angle q avec Oz. On supposera que la position initiale de l'électron à la date t=0 est OM₀= a sin q e_z - a cos q e_y et sa vitesse initiale est v₀ = w₀ a e_x.

Equations du mouvement sur les axes du trièdre Oxyz :

z(t) pour t >0 :

Dans le modèle de l'électron élastiquement lié, la force entre le noyau de l'atome et le barycentre des charges négatives est proportionnelle à la distance les séparant : -k r.

L'électron, placé dans des champs électrique et magnétique est de plus soumis à la force de Lorentz -eE-e(v^B)

Le poids de l'électron est négligeable devant les autres forces.

La seconde loi de Newton s'écrit : m d²r/dt² = -k r -e(v^B)

composantes du vecteur vitesse v ( x' ; y' ; z' ) ; composantes du vecteur champ B (0 ; 0 ; B₀ )

composantes du produit vectoriel : v^B : (y'B₀ ; -x'B₀ ; 0)

Par suite : mx" = -k/m x -e/m B₀y' et en posant w²₀ = k/m et W= eB₀/(2m)

x"+w²₀ x = -2Wy' ; y"+w²₀ y = +2Wx' ; z"+w²₀ z =0.

d'où z(t) = A cos(w₀t +B) ; à t = 0 ; z(0) = a sin q = A cos B soit A = a sin q et B=0

z(t) = a sin q cos(w₀).

Equation différentielle vérifiée par Z(t) : on utilisera la pulsation W= eB₀/(2m)

Z" = x" + i y" avec x" = -2Wy'-w²₀ x et y" = 2Wx'-w²₀ y

Z" = 2W[-y' + ix']-w²₀ (x+iy) ; Z" = 2W[i²y' + ix']-w²₀ Z ;

Z" +w²₀ Z = 2Wi[iy' + x'] ; Z" +w²₀ Z =2W i Z' ; Z" -2W i Z' +w²₀ Z =0.

On considère dans toute la suite que W<<w₀.

discriminant de l'équation associée r²-2 iW r + w²₀ =0 : D= -4W² -4 w²₀ voisin de -4 w²₀

racines : r₁ = iW +i w₀ ; r₂ = iW - iw₀ ;

Z(t) = A exp[( iW + i w₀)t]+ B exp[( iW -i w₀)t]

Z(t) = exp( iWt)[Aexp( i w₀t) + B exp( -i w₀t) ]

à t= 0, Z(0) = -a i cos q =A+B et dZ/dt = w₀ a = iW(A+B) + i w₀(A-B)

-B= a i cos q +A ; repport dans w₀ a = a W cos q + i w₀(2A+a i cos q )

d'où A = -½ai [1-W/ w₀ cos q- cos q] voisin de -½ai [1- cos q] et B= ½a i [1-W/ w₀ cos q+ cos q] voisin de ½ai [1+ cos q]

Z(t) =½ ia exp((iWt)[(1-cos q ) exp(-iw₀t )- (1+cos q ) exp(iw₀t)]

x(t) est la partie réelle de Z(t) et y(t) est la partie imaginaire de Z(t).

Z(t) =½ ia [exp((iWt)exp(-iw₀t )(1-cos q ) - (1+cos q ) exp((iWt) exp(iw₀t)]

Z(t) =½ ia [exp((i(W-w₀)t) (1-cos q ) - (1+cos q ) exp((i(W+w₀)t) ]

exp((i(W-w₀)t) = cos ((W-w₀)t ) + i sin ((W-w₀)t ) ; exp((i(W+w₀)t) = cos ((W+w₀)t ) + i sin ((W+w₀)t ) ;

Z(t) =½a [(1-cos q )(-sin ((W-w₀)t ))+ (1+cos q )sin ((W+w₀)t )]+ ½ i a [ (1-cos q )cos ((W-w₀)t )- (1+cos q ) cos ((W+w₀)t )]

x(t) = ½a [(1-cos q )(-sin ((W-w₀)t ))+ (1+cos q )sin ((W+w₀)t )]

y(t) =½ a [ (1-cos q )cos ((W-w₀)t )- (1+cos q ) cos ((W+w₀)t )]

p_z =-e a sin q cos(w₀).

p_x =-½ea [(1-cos q )(-sin ((W-w₀)t ))+ (1+cos q )sin ((W+w₀)t )]

p_y =-½ea[ (1-cos q )cos ((W-w₀)t )- (1+cos q ) cos ((W+w₀)t )]

Suivant Oz, il n'y a pas de rayonnement d'énergie.

Le mouvement de pulsation w₀ -W conduit à l'émission d'une onde polarisée circulairement, de fréquence n₀-Dn.

Le mouvement de pulsation W+w₀ conduit à l'émission d'une onde polarisée circulairement, de fréquence n₀+Dn.

Les fréquences sont voisines : c'est l'effet Zeeman longitudinal.

Dn =W/(2p) =eB₀/(4pm) = 1,6 10^-19*0,1 / (4*3,14*9,1 10^-31)=1,4 10⁹ Hz.

Dn/n₀ voisin 10^-6: les fréquences sont donc très proches.

L'onde émise est la superposition de trois ondes polarisées rectilignement :

suivant Oz ( pulsation w₀).

dans le plan xOy le mouvement circulaire dont la pulsation est W+w₀ conduit à l'émission d'une onde polarisée rectilignement, dans ce même plan, de fréquence n₀+Dn.

dans le plan xOy le mouvement circulaire dont la pulsation est w₀ -W conduit à l'émission d'une onde polarisée rectilignement, dans ce même plan, de fréquence n₀-Dn.

C'est l'effet Zeeman transversal.