Densimètre ; loi de Poiseuille ; équation Bernoulli d'après LSTA 1^ère année.

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V : volume total du densimètre ; S : section de la partie cylindrique. Plongé dans l'eau de masse volumique r_e, il affleure (1); par contre dans un liquide de masse volumique r >r_e, il occupe la position (2).

Le densimètre de masse m= 51,1 g est constitué d'un tube mince gradué ( diamètre d=4,0 mm) et d'un réservoir lesté de volume V1= 48 mL. La hauteur h dépend de la masse volumique du liquide dans lequel le densimètre plonge. Donnée : masse volumique de l'eau : r= 1000 kg m-3.

calcul de h

Le densimètre est en équilibre sous l'action de deux forces opposées, son poids P=mg et la poussée d'Archimède F, de valeur égale au poids de volume de liquide déplacé.

Volume de liquide déplacé = volume du réservoir + volume de la tige cylindrique de hauteur h

V= V₁+pd²/4 h

Poussée F= Vgr ; poids P=mg d'où : Vr = m ; V₁+pd²/4 h = m/r ; pd²/4 h = m/r - V₁

h = 4(m/r - V₁) / (pd²)

avec m = 5,11 10^-2 kg ; V₁=4,8 10^-5 m³ ; d = 4 10^-3 m

h = 4(5,11 10^-2/ 1000-4,8 10^-5) / (3,14 *16 10^-6)=0,247 m.

Une perte de pression Dp apparaît entre deux points distants d'une longueur l d’une canalisation de rayon r, dans laquelle un fluide circule à la vitesse moyenne v , avec un débit volumique q_v constant. La viscosité h est constante à pression et température fixées.

Dans le cas d'un fluide parfait, la viscosité est nulle et en conséquence D p est nulle.

Calcul de Dp :

Dp =rgDh = 900*10*0,3 = 2,7 10³ Pa.

Calcul de la viscosité :

h= pr⁴Dp / (8lq_v) avec r= 4 10^-3 m ; l= 0,65 m ; q_v =4 10^-6 m³/s ; Dp =2,7 10³ Pa.

h= 3,14 ( 4 10^-3)⁴*2,7 10³/(8*0,65*4 10^-6 )=1,04 10^-1 Pa s.

vitesse moyenne du fluide :

débit ( m³/s) = section (m²) * vitesse m/s)

v = q_v / (pr²)=4 10^-6 / (3,14*1,6 10^-5) =8,0 10^-2 m/s.

nombre de Reynolds N_R = 2r r v/h :

N_R =2*900*4 10^-3*8 10^-2/0,104 = 5,5.

Le nombre de Reynolds est faible : l'écoulement est laminaire.

Le niveau du lac est pratiquement constant ; la vitesse de l'eau en B est pratiquement nulle.

Notations : p₀ : pression atmosphérique ; r : masse volumique de l'eau.

Expression de la vitesse de l'eau en A :

Relation de Bernoulli : p/r + gz + ½v² = constante. g représente la valeur du champ de pesanteur terrestre.

Cette relation peut être applicable à tout le fluide si :

le fluide est incompressible (r constant), "parfait" ( viscosité nulle), en régime permanent et sans transfert de chaleur.

Appliquer cette relation entre A et B :

état A : pression p₀ ( à la sortie du petit tube, l'eau est en contact avec l'air ); altitude nulle, vitesse v_A.

état B : pression p₀ ; altitude H, vitesse nulle.

d'où p₀ /r +gH +0 = p₀ /r + 0 + ½v²_A ; v_A = (2gH)^½.

vitesse et pression en M :

le débit volumique est constant : débit ( m³/s) = section (m²) * vitesse m/s)

pD²/4 v_M = pd²/4 v_A ; D² v_M = d² v_A ; v_M =(d/D)²v_A.

Appliquer la relation de Bernoulli entre B et M :

état M : pression p_M ; altitude z, vitesse v_M.

état B : pression p₀ ; altitude H, vitesse nulle.

d'où p₀ /r +gH +0 = p_M /r +gz + ½v²_M .

p₀ +gHr = p_M +gz r + ½rv²_M .

p_M = p₀ +g(H-z)r- ½rv²_M ; p_M = p₀ +g(H-z)r- ½r(d/D)⁴v²_A.

pression en C :

altitude du point C : z_C= H-H₀ ; d'où H-z_C= H₀ ; p_C = p₀ +gH₀r- ½r(d/D)⁴v²_A.

Or H₀ < H-z en conséquence p_C < p_M

valeur minimale de d telle que la pression dans la conduite soit toujours supérieure à une valeur p_mini :

La pression est la plus faible en C d'où : p_mini > p₀ +gH₀r- ½r(d/D)⁴v²_A.

p_mini - p₀ > gH₀r- ½r(d/D)⁴v²_A avec v²_A = 2gH

p_mini - p₀ > gH₀r- rgH(d/D)⁴ ; (p_mini - p₀) / (rgH ) >H₀ / H - (d/D)⁴ ;

(d/D)⁴ > H₀ / H + (p_mini - p₀) / (rgH )

d > D[H₀ / H + (p_mini - p₀) / (rgH )]^1/4.