facteur de qualité : étude d'un filtre passif, diagramme de Bode concours Mines 04

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Il est composé de trois dipôles en série : une résistance R, une inductance parfaite de coefficient d’induction L, et d’un condensateur de capacité C.

Il est soumis à une tension d'entrée sinusoidale e(t)=E_m cos(wt+j). On note s(t) la tension de sortie.

En notation complexe, on notera, pour e(t) par exemple, e= E_m e^(jwt) = Ee^jj e^(jwt), E_m : amplitude complexe.

A l'aide de deux schémas équivalents du circuit, l'un en hautes frequences, l'autre en basses fréquences, donner la nature de ce filtre.

Le filtre coupe les hautes fréquences, mais laisse passer les basses fréquences : filtre passe bas.

Etablir la fonction de transfert de ce filtre sous la forme :

Donner l’ordre de ce filtre.

Le dénominateur compte un terme en w² : donc filtre d'ordre 2.

Si e(t) est une fonction quelconque du temps (non sinusoïdale), quelle est l’équation différentielle entre les fonctions s(t) et e(t) ? e = 1/(Qw0) jw +1/w02 (jw)2+1]s. à jw correspond ds/dt ; à (jw)2 correspond d2s/dt2. d'où : e(t) =1/w02d2s/dt2 +1/(Qw0) ds/dt + s(t) Pour quelle raison peut-on affirmer la convergence du régime transitoire ? 1/w02, 1/(Qw0), 1 sont de même signe.

Exprimer le module H de la fonction de transfert en fonction de w₀, w et Q.

Montrer que H passe par un maximum pour Q >2^-½.

On pose x = w2/w20 et on étudie la variation du carré du dénominateur. D= (1-x)2 + Q-2x= 1 +(Q-2-2)x + x2. chercher la valeur de x qui annule la dérivée D' : 2x +Q-2-2 =0 ; x = -½Q-2+1. x étant positif, alors Q-2<2 ou Q >2-½.

Comment appelle-t-on ce phénomène ?

résonance.

Déterminer w_r, la pulsation correspondant à ce phénomène, en fonction de w₀ et Q.

w_r²/w²₀ = 1-½Q^-2 ; w_r = w ₀[1-½Q^-2]^½.

On appelle gain, la fonction , telle que G_dB= 20 log H .

Donner les équations des asymptotes de G_dB aux basses fréquences et aux hautes fréquences.

G_dB= -10 log [(1-x²)²+Q^-2x² ]

si x tend vers 0, alors G_dB est équivalent à 0. L'axe des abscisses est asymptote horizontale.

si x tend vers l'infini, alors G_dB est équivalent à -40 log x. ( droite de pente -40 dB par décade).

Cette droite asymptote coupe l'axe des abscisses en x=1.

Exprimer G_dB(w=w₀).

x=1 ; G_dB(1) = -10 log Q^-2 = 20 log Q.

Tracer l’allure du diagramme de Bode en gain pour Q=10 et Q=0,1.

On définit les pulsations de coupures w_c d’un filtre par la relation : H <H_max / 2^½.

Justifier que la bande passante est alors définie à -3dB.

gain pour la pulsation w_c : G_dB = 20 log ( H_max* 2^-½) =20 log H_max -10 log 2 = 20 log H_max -3 = G_{dB max}-3.

On suppose Q >>1.

Montrer que si w=w₀, alors i(t) = I_max cos(w₀t).

Les fréquences de coupures sont proches de w₀ ( résonance très aigue). Les effets capacitifs compensent les effets inductifs. L'impédance du dipôle est minimale, égale à R.

L'intensité et la tension aux bornes du dipôle sont en phase.

Déterminer alors u_c(t), la tension aux bornes du condensateur en fonction de C, I_max et w₀.

La tension aux bornes du condensateur est retard de ½p sur l'intensité.

U_dipôle = R I_max ; U_c = I_max / (Cw₀) = U_dipôle / (RCw₀) = Q.U_dipôle.

u_c(t) = I_max / (Cw₀) cos (w₀t-½p ) = I_max / (Cw₀) sin (w₀t )

On note, DW l'énergie dissipée par effet Joule dans la résistance sur une période.

Montrer que DW = p /w₀RI²_max.

On note W_m, l’énergie maximale reçue par le condensateur.

Montrer que W_m =I²_max/ (2Cw₀²).

En déduire que : Q = 2p W_m/DW.

W_m/DW = 1/ (2pRCw₀) ; or Q = 1/ (RCw₀)

d'où : W_m/DW = Q /(2p). Q = 2p W_m/DW.